数学B 3項間漸化式 問題 2 解説

方針・初手

与えられた式

$$ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2 $$

は、隣り合う差 $a_{n+1}-a_n$ の変化を表している。そこで

$$ d_n=a_{n+1}-a_n $$

とおくと、一次の漸化式に直せる。

解法1

$d_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。

このとき

$$ d_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1} $$

であるから、与えられた漸化式は

$$ (a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=2 $$

すなわち

$$ d_{n+1}-d_n=2 $$

となる。

また、

$$ d_1=a_2-a_1=2-1=1 $$

である。したがって、数列 ${d_n}$ は初項 $1$、公差 $2$ の等差数列であるから、

$$ d_n=1+2(n-1)=2n-1 $$

となる。

よって

$$ a_{n+1}-a_n=2n-1 $$

である。

次に、$a_n$ を求める。$n\geqq 2$ のとき、

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) $$

であるから、

$$ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1) $$

となる。

ここで、最初の $n-1$ 個の奇数の和は $(n-1)^2$ であるから、

$$ a_n=1+(n-1)^2 $$

すなわち

$$ a_n=n^2-2n+2 $$

である。

この式は $n=1$ のときも

$$ 1^2-2\cdot 1+2=1 $$

となり、初期条件 $a_1=1$ を満たす。

解説

この問題の核心は、二階差分

$$ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n $$

をそのまま扱うのではなく、

$$ (a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n) $$

と見直す点にある。

つまり、$a_{n+1}-a_n$ を新しい数列として考えると、問題は等差数列の処理に帰着する。二階の漸化式では、まず「差の数列」を作るのが典型的な初手である。

答え

(1)

$$ a_{n+1}-a_n=2n-1 $$

(2)

$$ a_n=n^2-2n+2 $$