数学B 3項間漸化式 問題 6 解説

方針・初手

$a_n$ は前2項の相加平均で定まるので、隣り合う差 $a_{n+1}-a_n$ を調べると漸化式が1次の形に落ちる。

$b_n$ は前2項の相乗平均で定まるので、対数をとると $a_n$ と同じ形の漸化式になる。

解法1

階差数列を

$$ c_n=a_{n+1}-a_n \quad (n \geqq 1) $$

とする。

$n \geqq 2$ に対して、

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n-1}}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} c_n &=a_{n+1}-a_n \\ &=\frac{a_n+a_{n-1}}{2}-a_n \\ &=\frac{a_{n-1}-a_n}{2} \\ &=-\frac{1}{2}(a_n-a_{n-1}) \\ &=-\frac{1}{2}c_{n-1} \end{aligned} $$

となる。

したがって、${c_n}$ は公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列である。

また、

$$ c_1=a_2-a_1 $$

なので、

$$ c_n=(a_2-a_1)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

である。

次に、$a_n$ を求める。階差数列を用いると、

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}c_k $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_2-a_1)\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \\ &=a_1+(a_2-a_1)\frac{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &=a_1+\frac{2}{3}(a_2-a_1)\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\} \end{aligned} $$

となる。

これを整理すると、

$$ a_n=\frac{a_1+2a_2}{3}-\frac{2}{3}(a_2-a_1)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

である。

次に、$b_1=1,\ b_2=2$ のときを考える。$b_n$ は正の実数であるから、対数をとることができる。

$$ x_n=\log_2 b_n $$

とおく。

$b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n-2}}$ より、

$$ \begin{aligned} x_n &=\log_2 b_n \\ &=\log_2 \sqrt{b_{n-1}b_{n-2}} \\ &=\frac{1}{2}\log_2(b_{n-1}b_{n-2}) \\ &=\frac{1}{2}(\log_2 b_{n-1}+\log_2 b_{n-2}) \\ &=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2} \end{aligned} $$

となる。

したがって、${x_n}$ は ${a_n}$ と同じ形の漸化式を満たす。さらに、

$$ x_1=\log_2 1=0,\qquad x_2=\log_2 2=1 $$

である。

先ほど求めた一般項の式に $a_1=0,\ a_2=1$ を代入すると、

$$ x_n=\frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\} $$

である。

ゆえに、

$$ \log_2 b_n=\frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\} $$

である。

解説

この問題の中心は、相加平均型の漸化式を「階差」に変換する点である。

$a_n$ そのものを直接扱うと2項間の漸化式ではないが、差 $a_{n+1}-a_n$ を見ると、公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列になる。したがって、あとは階差数列の和をとれば一般項が得られる。

また、相乗平均型の漸化式は、対数をとることで相加平均型に変わる。$b_n$ が正の実数であるという条件は、この対数変換を正当化するために必要である。

答え

(1)

$$ c_n=a_{n+1}-a_n $$

とすると、

$$ c_n=-\frac{1}{2}c_{n-1} $$

より、${c_n}$ は公比

$$ -\frac{1}{2} $$

の等比数列である。

(2)

$$ a_n=a_1+\frac{2}{3}(a_2-a_1)\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\} $$

すなわち、

$$ a_n=\frac{a_1+2a_2}{3}-\frac{2}{3}(a_2-a_1)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

(3)

$$ \log_2 b_n=\frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\} $$