数学B 3項間漸化式 問題 5 解説

方針・初手

$a_n=3^{b_n}$ とおくと、積と累乗で与えられた漸化式を指数部分の線形漸化式に直すことができる。

指数を比較して $b_n$ の漸化式を作り、特性方程式で一般項を求める。

解法1

$a_1=1,\ a_2=3$ より、

$$ a_1=3^0,\qquad a_2=3^1 $$

であるから、

$$ b_1=0,\qquad b_2=1 $$

である。

また、$a_n=3^{b_n}$ とおくと、

$$ a_{n+1}=a_n^2a_{n-1}^3 $$

より、

$$ 3^{b_{n+1}}=(3^{b_n})^2(3^{b_{n-1}})^3 $$

となる。右辺を整理すると、

$$ 3^{b_{n+1}}=3^{2b_n+3b_{n-1}} $$

であるから、指数を比較して

$$ b_{n+1}=2b_n+3b_{n-1} $$

を得る。

この線形漸化式の特性方程式は

$$ r^2=2r+3 $$

すなわち

$$ r^2-2r-3=0 $$

である。よって、

$$ (r-3)(r+1)=0 $$

より、解は $r=3,-1$ である。

したがって、

$$ b_n=A3^{n-1}+B(-1)^{n-1} $$

と表せる。初期条件 $b_1=0,\ b_2=1$ を代入すると、

$$ \begin{cases} A+B=0 \\ 3A-B=1 \end{cases} $$

となる。これを解いて、

$$ A=\frac14,\qquad B=-\frac14 $$

を得る。

よって、

$$ b_n=\frac{3^{n-1}-(-1)^{n-1}}{4} $$

である。したがって、

$$ a_n=3^{\frac{3^{n-1}-(-1)^{n-1}}{4}} $$

である。

次に、$a_n>1994$ となる最小の $n$ を求める。

まず、

$$ 3^6=729,\qquad 3^7=2187 $$

であるから、

$$ 1994<3^7 $$

である。したがって、$a_n=3^{b_n}>1994$ となるには、少なくとも $b_n\geqq 7$ であればよい。

$b_n$ を順に調べると、

$$ b_1=0,\qquad b_2=1,\qquad b_3=\frac{3^2-1}{4}=2 $$

である。したがって、

$$ a_3=3^2=9<1994 $$

である。

また、

$$ b_4=\frac{3^3+1}{4}=7 $$

なので、

$$ a_4=3^7=2187>1994 $$

である。

よって、条件を満たす最小の $n$ は

$$ n=4 $$

である。

解説

この問題の中心は、$a_n=3^{b_n}$ とおくことで、複雑に見える積の漸化式を指数部分の漸化式に変換する点である。

$a_{n+1}=a_n^2a_{n-1}^3$ はそのままでは扱いにくいが、各項が $3$ の累乗で表されると考えると、指数部分だけを取り出して

$$ b_{n+1}=2b_n+3b_{n-1} $$

という線形漸化式に帰着できる。

また、$a_n>1994$ の判定では、$1994$ が $3^6$ と $3^7$ の間にあることに注目すればよい。つまり $a_n=3^{b_n}$ なので、指数 $b_n$ が $7$ 以上になる最初の $n$ を調べれば十分である。

答え

(1)

$$ b_n=\frac{3^{n-1}-(-1)^{n-1}}{4} $$

(2)

$$ n=4 $$