数学B 3項間漸化式 問題 9 解説

方針・初手

$a_n$ はすべて正であるから、比 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ の対数を取ることができる。与えられた漸化式

$$ a_{n+1}a_{n-1}^2=a_n^3 $$

を、$b_n=\log_3\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ に合うように変形する。

解法1

まず、

$$ b_1=\log_3\frac{a_2}{a_1} =\log_3 9 =2 $$

である。

次に、漸化式

$$ a_{n+1}a_{n-1}^2=a_n^3 $$

を $a_na_{n-1}^2$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \left(\frac{a_n}{a_{n-1}}\right)^2 \end{aligned} $$

となる。

両辺の底 $3$ の対数を取ると、

$$ \begin{aligned} \log_3\frac{a_{n+1}}{a_n} &= 2\log_3\frac{a_n}{a_{n-1}} \end{aligned} $$

である。したがって、$n=2,3,4,\ldots$ に対して

$$ b_n=2b_{n-1} $$

が成り立つ。

よって、数列 ${b_n}$ は初項 $2$、公比 $2$ の等比数列であるから、

$$ b_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n $$

である。

ここで、

$$ b_n=\log_3\frac{a_{n+1}}{a_n} =\log_3 a_{n+1}-\log_3 a_n $$

なので、$\log_3 a_n$ の差が $b_n$ になっている。

また、$a_1=1$ より

$$ \log_3 a_1=0 $$

である。したがって、$n\geqq 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} \log_3 a_n &= \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\ \sum_{k=1}^{n-1}2^k \end{aligned} $$

となる。

等比数列の和より、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}2^k &= 2^n-2 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \log_3 a_n=2^n-2 $$

を得る。

よって、

$$ a_n=3^{2^n-2} $$

である。

解説

この問題では、漸化式が積と累乗で与えられているため、そのまま $a_n$ を求めようとすると扱いにくい。そこで、比 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ を作り、さらに対数を取ることで、掛け算を足し算に、累乗を係数に変えるのが自然である。

特に、

$$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \left(\frac{a_n}{a_{n-1}}\right)^2 \end{aligned} $$

という形に直すと、定義された $b_n$ がそのまま現れる。この変形ができれば、あとは等比数列の処理である。

答え

$$ [オ]=2 $$

$$ [カ]\quad b_n=2b_{n-1}\quad(n=2,3,4,\ldots) $$

$$ [キ]\quad b_n=2^n $$

$$ [ク]\quad \log_3 a_n=2^n-2 $$

$$ [ケ]\quad a_n=3^{2^n-2} $$