数学B 3項間漸化式 問題 10 解説

方針・初手

（1） は非同次漸化式で、右辺に $3^n$ があるため、特解を $C3^n$ の形で考える。

（2） は特性方程式が重解をもつ型である。問題文の誘導に従い、$a_{n+2}+\alpha a_{n+1}$ と $a_{n+1}+\alpha a_n$ が比例するように $\alpha,\beta$ を決める。

解法1

(1)

漸化式は

$$ a_{n+1}=2a_n+5\cdot 3^n $$

である。右辺の非同次項が $3^n$ なので、特解を $a_n=C3^n$ とおく。

これを漸化式に代入すると、

$$ C3^{n+1}=2C3^n+5\cdot 3^n $$

両辺を $3^n$ で割って、

$$ 3C=2C+5 $$

より、

$$ C=5 $$

である。したがって、一般形は

$$ a_n=5\cdot 3^n+D\cdot 2^n $$

と表せる。

初期条件 $a_1=3$ を代入すると、

$$ 3=5\cdot 3+D\cdot 2 $$

すなわち、

$$ 3=15+2D $$

より、

$$ D=-6 $$

である。よって、

$$ a_n=5\cdot 3^n-6\cdot 2^n $$

となる。

したがって、

$$ \mathrm{ア}=5,\qquad \mathrm{イ}=6 $$

である。

(2)

漸化式

$$ a_{n+2}+10a_{n+1}+25a_n=0 $$

について、

$$ a_{n+2}+\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}+\alpha a_n) $$

が成り立つようにする。

右辺を展開して左辺に移すと、

$$ a_{n+2}+(\alpha-\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_n=0 $$

である。これが

$$ a_{n+2}+10a_{n+1}+25a_n=0 $$

と一致するためには、

$$ \alpha-\beta=10,\qquad -\alpha\beta=25 $$

が必要である。すなわち、

$$ \alpha-\beta=10,\qquad \alpha\beta=-25 $$

である。

$\beta=\alpha-10$ として代入すると、

$$ \alpha(\alpha-10)=-25 $$

より、

$$ \alpha^2-10\alpha+25=0 $$

したがって、

$$ (\alpha-5)^2=0 $$

より、

$$ \alpha=5 $$

である。このとき、

$$ \beta=5-10=-5 $$

である。

よって、

$$ \mathrm{ウ}=5,\qquad \mathrm{エ}=-5 $$

である。

次に、

$$ b_n=a_{n+1}+\alpha a_n=a_{n+1}+5a_n $$

と定める。このとき、先ほどの式より

$$ b_{n+1}=-5b_n $$

である。

また、

$$ b_1=a_2+5a_1=5+5\cdot 1=10 $$

であるから、

$$ b_n=10(-5)^{n-1} $$

となる。

したがって、

$$ \mathrm{オカ}=10 $$

である。

ここで

$$ a_{n+1}+5a_n=10(-5)^{n-1} $$

を解く。$a_n=c_n(-5)^{n-1}$ とおくと、

$$ a_{n+1}=c_{n+1}(-5)^n $$

であり、

$$ 5a_n=5c_n(-5)^{n-1}=-c_n(-5)^n $$

だから、

$$ a_{n+1}+5a_n=(c_{n+1}-c_n)(-5)^n $$

である。

一方、

$$ 10(-5)^{n-1}=-2(-5)^n $$

なので、

$$ (c_{n+1}-c_n)(-5)^n=-2(-5)^n $$

より、

$$ c_{n+1}-c_n=-2 $$

である。

また、

$$ a_1=c_1(-5)^0=c_1 $$

であり、$a_1=1$ だから、

$$ c_1=1 $$

である。したがって、

$$ c_n=1-2(n-1)=3-2n $$

となる。

よって、

$$ a_n=(3-2n)(-5)^{n-1} $$

である。これを $(-5)^n$ を用いて表すと、

$$ a_n=\frac{3-2n}{-5}(-5)^n $$

すなわち、

$$ a_n=\frac{2}{5}n(-5)^n-\frac{3}{5}(-5)^n $$

である。

したがって、

$$ \mathrm{キ}=2,\qquad \mathrm{ク}=5,\qquad \mathrm{ケ}=3,\qquad \mathrm{コ}=5 $$

である。

解説

（1） は、非同次項が $3^n$ であり、同次部分の解が $2^n$ 型になるため、

$$ a_n=A3^n+B2^n $$

の形を想定すればよい。初項を代入して係数を決めるだけである。

（2） は、特性方程式

$$ x^2+10x+25=0 $$

が

$$ (x+5)^2=0 $$

となる重解型である。重解の場合、一般項には $n(-5)^n$ が現れる。問題文の誘導は、この重解型を $b_n=a_{n+1}+5a_n$ によって等比数列へ落とし込む処理である。

答え

(1)

$$ a_n=5\cdot 3^n-6\cdot 2^n $$

したがって、

$$ \mathrm{ア}=5,\qquad \mathrm{イ}=6 $$

(2)

$$ \alpha=5,\qquad \beta=-5 $$

より、

$$ \mathrm{ウ}=5,\qquad \mathrm{エ}=-5 $$

また、

$$ b_n=10(-5)^{n-1} $$

より、

$$ \mathrm{オカ}=10 $$

さらに、

$$ a_n=\frac{2}{5}n(-5)^n-\frac{3}{5}(-5)^n $$

であるから、

$$ \mathrm{キ}=2,\qquad \mathrm{ク}=5,\qquad \mathrm{ケ}=3,\qquad \mathrm{コ}=5 $$