数学B 3項間漸化式 問題 14 解説

方針・初手

与えられた漸化式

$$ a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_n=0 $$

を

$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n $$

と変形し、これを $b_{n+1}$ と $c_{n+1}$ の定義に代入する。すると、$b_n$ と $c_n$ はそれぞれ等比数列になる。

解法1

まず、

$$ b_n=a_{n+1}+a_n $$

であるから、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}+a_{n+1} \\ &=(2a_{n+1}+3a_n)+a_{n+1} \\ &=3a_{n+1}+3a_n \\ &=3(a_{n+1}+a_n) \\ &=3b_n \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ b_{n+1}=3b_n $$

である。

次に、

$$ c_n=a_{n+1}-3a_n $$

であるから、

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &=a_{n+2}-3a_{n+1} \\ &=(2a_{n+1}+3a_n)-3a_{n+1} \\ &=-a_{n+1}+3a_n \\ &=-(a_{n+1}-3a_n) \\ &=-c_n \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ c_{n+1}=-c_n $$

である。

ここで初項を求める。

$$ b_1=a_2+a_1=2+1=3 $$

であり、$b_{n+1}=3b_n$ だから、${b_n}$ は初項 $3$、公比 $3$ の等比数列である。したがって、

$$ b_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n $$

となる。

また、

$$ c_1=a_2-3a_1=2-3=-1 $$

であり、$c_{n+1}=-c_n$ だから、${c_n}$ は初項 $-1$、公比 $-1$ の等比数列である。したがって、

$$ c_n=-1\cdot(-1)^{n-1}=(-1)^n $$

となる。

最後に、$b_n$ と $c_n$ の定義から $a_n$ を求める。

$$ b_n=a_{n+1}+a_n,\qquad c_n=a_{n+1}-3a_n $$

である。両式の差をとると、

$$ b_n-c_n=4a_n $$

となるので、

$$ a_n=\frac{b_n-c_n}{4} $$

である。

ここに

$$ b_n=3^n,\qquad c_n=(-1)^n $$

を代入すると、

$$ a_n=\frac{3^n-(-1)^n}{4} $$

を得る。

解説

この問題の狙いは、もとの漸化式を直接解くことではなく、$b_n$ と $c_n$ を導入すると漸化式が単純な等比数列に分解されることに気づく点にある。

特に、

$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n $$

を $b_{n+1}$ と $c_{n+1}$ に代入すると、係数がうまく整理されて

$$ b_{n+1}=3b_n,\qquad c_{n+1}=-c_n $$

となる。これにより、$b_n$ と $c_n$ はすぐに一般項を求められる。

最後は

$$ b_n=a_{n+1}+a_n,\qquad c_n=a_{n+1}-3a_n $$

の差を利用して $a_n$ を取り出す。$a_{n+1}$ を消去するのがこの問題の仕上げである。

答え

(1)

$$ b_{n+1}=3b_n $$

(2)

$$ c_{n+1}=-c_n $$

(3)

$$ b_n=3^n,\qquad c_n=(-1)^n $$

(4)

$$ a_n=\frac{3^n-(-1)^n}{4} $$