数学B 3項間漸化式 問題 13 解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+2}-(3c-2)a_{n+1}+(3c-3)a_n=0 $$

を、差 $a_{n+1}-a_n$ に関する等比数列の形へ変形する。係数比較によって $p,q$ を求めたあと、差分を足し上げて $a_n$ を求める。

解法1

まず、与えられた形

$$ a_{n+2}-p a_{n+1}=q(a_{n+1}-p a_n) $$

を左辺に集めると、

$$ a_{n+2}-(p+q)a_{n+1}+pq,a_n=0 $$

となる。

これが

$$ a_{n+2}-(3c-2)a_{n+1}+(3c-3)a_n=0 $$

と一致すればよいから、

$$ p+q=3c-2,\qquad pq=3c-3 $$

である。

このとき、$p,q$ は方程式

$$ x^2-(3c-2)x+(3c-3)=0 $$

の2つの解である。これを因数分解すると、

$$ x^2-(3c-2)x+(3c-3)=(x-1){x-(3c-3)} $$

である。

$p$ は定数であるから、

$$ p=1,\qquad q=3c-3 $$

である。

したがって、漸化式は

$$ a_{n+2}-a_{n+1}=(3c-3)(a_{n+1}-a_n) $$

と変形できる。

ここで

$$ b_n=a_{n+1}-a_n $$

とおくと、

$$ b_{n+1}=(3c-3)b_n $$

である。また、

$$ b_1=a_2-a_1=7-3=4 $$

だから、

$$ b_n=4(3c-3)^{n-1} $$

となる。

よって、

$$ a_{n+1}-a_n=4(3c-3)^{n-1} $$

である。これを $k=1$ から $n-1$ まで足すと、

$$ a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}4(3c-3)^{k-1} $$

となる。

$a_1=3$ より、

$$ a_n=3+4\sum_{k=1}^{n-1}(3c-3)^{k-1} $$

である。

ここで $c\ne \dfrac{4}{3}$ だから、

$$ 3c-3\ne 1 $$

である。したがって等比数列の和の公式より、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}(3c-3)^{k-1} =\frac{(3c-3)^{n-1}-1}{(3c-3)-1} =\frac{(3c-3)^{n-1}-1}{3c-4} $$

である。

よって、

$$ a_n=3+\frac{4{(3c-3)^{n-1}-1}}{3c-4} $$

となる。整理すると、

$$ a_n=\frac{4(3c-3)^{n-1}+9c-16}{3c-4} $$

である。

解法2

特性方程式を用いて求める。

与えられた漸化式の特性方程式は

$$ x^2-(3c-2)x+(3c-3)=0 $$

である。これは

$$ (x-1){x-(3c-3)}=0 $$

と因数分解できる。

$c\ne \dfrac{4}{3}$ より、

$$ 1\ne 3c-3 $$

であるから、2つの特性根は相異なる。したがって一般項は

$$ a_n=A+B(3c-3)^{n-1} $$

と表せる。

初期条件 $a_1=3,\ a_2=7$ を代入すると、

$$ A+B=3 $$

また、

$$ A+B(3c-3)=7 $$

である。

2式を引くと、

$$ B{(3c-3)-1}=4 $$

すなわち

$$ B(3c-4)=4 $$

である。$c\ne \dfrac{4}{3}$ より $3c-4\ne 0$ だから、

$$ B=\frac{4}{3c-4} $$

となる。

また、

$$ A=3-\frac{4}{3c-4} =\frac{9c-16}{3c-4} $$

である。

したがって、

$$ a_n=\frac{9c-16}{3c-4}+\frac{4}{3c-4}(3c-3)^{n-1} $$

すなわち

$$ a_n=\frac{4(3c-3)^{n-1}+9c-16}{3c-4} $$

である。

解説

この問題の中心は、2階線形漸化式をそのまま解くのではなく、差分 $a_{n+1}-a_n$ に着目して1階の等比型漸化式へ落とすことである。

特性方程式

$$ x^2-(3c-2)x+(3c-3)=0 $$

が

$$ (x-1){x-(3c-3)}=0 $$

と因数分解できるため、根の一方が定数 $1$ になる。このため、$p=1$ と選ぶと

$$ a_{n+2}-a_{n+1}=(3c-3)(a_{n+1}-a_n) $$

となり、差分が等比数列になる。

条件 $c\ne \dfrac{4}{3}$ は、$3c-3\ne 1$ を保証するために使われる。これにより、等比数列の和の公式で分母 $3c-4$ が $0$ にならない。

答え

(1)

$$ p=1,\qquad q=3c-3 $$

(2)

$$ a_n=\frac{4(3c-3)^{n-1}+9c-16}{3c-4} $$