数学B 2項間漸化式 問題 1 解説

方針・初手

漸化式を関数

$$ f(x)=rx(1-x) $$

で表すと、$x_{n+1}=f(x_n)$ である。

（1） は $a$ が $f$ の不動点である条件、（2） は $f(f(a))=a$ であるが $f(a)\neq a$ である条件、（3） は区間 $[0,1]$ が $f$ によって自分自身に移される条件を調べればよい。

解法1

（1） すべての $n$ について $x_n=a$ となるには、特に $x_2=a$ でなければならない。

$$ x_2=ra(1-a) $$

より、

$$ ra(1-a)=a $$

である。これを整理すると、

$$ a{r(1-a)-1}=0 $$

となる。

したがって、

$$ a=0 $$

または

$$ r(1-a)-1=0 $$

である。

後者は $r\neq 0$ のとき

$$ a=1-\frac{1}{r} $$

となる。

よって、$r=0$ のときは $a=0$ のみであり、$r\neq 0$ のときは

$$ a=0,\quad 1-\frac{1}{r} $$

である。

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（2） 条件 $x_3=a$ は

$$ f(f(a))=a $$

である。一方、$x_2\neq a$ より、$a$ は不動点ではない。

まず

$$ f(x)=rx(1-x) $$

として、$f(f(a))-a=0$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(f(a))-a &=r{ra(1-a)}{1-ra(1-a)}-a \\ &=-a(ra-r+1){r^2a^2-r(r+1)a+r+1} \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ a=0 $$

または

$$ ra-r+1=0 $$

は $f(a)=a$ を表す不動点であるから、条件 $x_2\neq a$ により除外する。

したがって、求める $a$ は

$$ r^2a^2-r(r+1)a+r+1=0 $$

の実数解のうち、不動点でないものである。

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} D &={-r(r+1)}^2-4r^2(r+1) \\ &=r^2(r+1)(r-3) \end{aligned} $$

である。

$r=0$ のとき、この二次式は $1=0$ となり解をもたない。

$r\neq 0$ のとき、実数解をもつ条件は

$$ (r+1)(r-3)\geq 0 $$

すなわち

$$ r\leq -1,\quad r\geq 3 $$

である。

ただし、端点では重解が不動点と一致する。

実際、$r=-1$ のとき二次式は

$$ a^2=0 $$

となり、解 $a=0$ は不動点である。

また、$r=3$ のとき二次式は

$$ 9a^2-12a+4=0 $$

すなわち

$$ (3a-2)^2=0 $$

となり、解 $a=\dfrac{2}{3}$ は不動点

$$ 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

である。

よって、条件 $x_2\neq a,\ x_3=a$ を満たす $a$ の個数は、

$$ r<-1,\quad r>3 $$

のとき $2$ 個であり、それ以外のとき $0$ 個である。

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(3)

$0\leq a\leq 1$ であるすべての $a$ について、すべての $n$ で

$$ 0\leq x_n\leq 1 $$

が成り立つためには、少なくとも $x_2$ が常に $[0,1]$ に入る必要がある。

つまり、すべての $a\in[0,1]$ に対して

$$ 0\leq ra(1-a)\leq 1 $$

が必要である。

ここで、$a\in[0,1]$ のとき

$$ 0\leq a(1-a)\leq \frac{1}{4} $$

であり、最大値 $\dfrac{1}{4}$ は $a=\dfrac{1}{2}$ でとる。

したがって、すべての $a\in[0,1]$ に対して $ra(1-a)\geq 0$ となるには

$$ r\geq 0 $$

が必要である。

また、最大値が $1$ 以下であるためには

$$ \frac{r}{4}\leq 1 $$

すなわち

$$ r\leq 4 $$

が必要である。

よって必要条件は

$$ 0\leq r\leq 4 $$

である。

逆に、$0\leq r\leq 4$ ならば、$0\leq x\leq 1$ に対して

$$ 0\leq x(1-x)\leq \frac{1}{4} $$

より

$$ 0\leq rx(1-x)\leq 1 $$

が成り立つ。

したがって、$x_n\in[0,1]$ ならば $x_{n+1}\in[0,1]$ である。初めに $x_1=a\in[0,1]$ だから、数学的帰納法により、すべての $n$ について

$$ 0\leq x_n\leq 1 $$

が成り立つ。

よって求める $r$ の範囲は

$$ 0\leq r\leq 4 $$

である。

解説

この問題の中心は、漸化式を写像 $f(x)=rx(1-x)$ の反復として見ることである。

（1） は不動点の問題であり、$f(a)=a$ を解けばよい。

（2） は $2$ 回反復して元に戻る点の問題である。ただし $x_2\neq a$ があるため、不動点を除外する必要がある。ここを見落とすと、$r=-1$ や $r=3$ の端点で個数を誤る。

（3） は「すべての初期値 $a\in[0,1]$」に対する条件であるから、$f$ が区間 $[0,1]$ を $[0,1]$ に写すかどうかを調べる。$a(1-a)$ の最大値が $\dfrac{1}{4}$ であることから、$0\leq r\leq 4$ が得られる。

答え

(1)

$r=0$ のとき

$$ a=0 $$

$r\neq 0$ のとき

$$ a=0,\quad 1-\frac{1}{r} $$

(2)

$$ \begin{cases} 2個 & (r<-1,\ r>3)\\ 0個 & (-1\leq r\leq 3) \end{cases} $$

(3)

$$ 0\leq r\leq 4 $$