数学B 2項間漸化式 問題 2 解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=2a_n-n-1 $$

は、右辺に $n$ を含む一次の非同次漸化式である。まず $n$ の一次式を引いて、等比数列に直すことを考える。

解法1

$a_n$ から一次式を引いて等比型にする。定数 $p,q$ を用いて

$$ b_n=a_n-(pn+q) $$

とおく。このとき $b_{n+1}=2b_n$ となるように $p,q$ を定める。

$a_n=b_n+pn+q$ として漸化式に代入すると、

$$ b_{n+1}+p(n+1)+q=2(b_n+pn+q)-n-1 $$

である。これを整理すると

$$ b_{n+1}=2b_n+(2p-1-p)n+(2q-1-p-q) $$

となる。$b_{n+1}=2b_n$ とするには、$n$ の係数と定数項がともに $0$ であればよいから、

$$ \begin{cases} 2p-1-p=0,\\ 2q-1-p-q=0 \end{cases} $$

より、

$$ p=1,\qquad q=2 $$

である。

したがって

$$ b_n=a_n-(n+2) $$

とおくと、

$$ b_{n+1}=2b_n $$

となる。

初項は

$$ b_1=a_1-(1+2)=9-3=6 $$

であるから、

$$ b_n=6\cdot 2^{n-1} $$

である。

よって

$$ a_n=b_n+n+2=6\cdot 2^{n-1}+n+2 $$

となる。すなわち、

$$ a_n=3\cdot 2^n+n+2 $$

である。

次に和を求める。

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k =\sum_{k=1}^{n}(3\cdot 2^k+k+2) $$

であるから、

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k =3\sum_{k=1}^{n}2^k+\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}2 $$

となる。

それぞれ

$$ \sum_{k=1}^{n}2^k=2^{n+1}-2,\qquad \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n}2=2n $$

より、

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k =3(2^{n+1}-2)+\frac{n(n+1)}{2}+2n $$

である。

したがって、

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k =3\cdot 2^{n+1}+\frac{n^2+5n-12}{2} $$

である。

解説

この問題の中心は、非同次項 $-n-1$ を処理するために、$a_n$ から一次式を引くことである。

右辺に $n$ の一次式があるので、補正する式も一次式 $pn+q$ とおくのが自然である。補正後に $b_{n+1}=2b_n$ という等比数列へ変形できれば、一般項は直ちに求まる。

和については、一般項を求めたあとに、等比数列の和、自然数の和、定数列の和に分けて計算すればよい。

答え

(1)

$$ a_n=3\cdot 2^n+n+2 $$

(2)

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k =3\cdot 2^{n+1}+\frac{n^2+5n-12}{2} $$