数学B 2項間漸化式 問題 6 解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{2+ka_n} $$

は、そのまま扱うよりも逆数をとると一次の漸化式になる。$a_1=1>0$ であり、$k>0$ より分母 $2+ka_n$ は正なので、各 $a_n$ は正であり逆数をとってよい。

解法1

まず、実際に計算する。

$$ a_2=\frac{a_1}{2+ka_1} =\frac{1}{2+k} $$

次に、

$$ a_3 =\frac{a_2}{2+ka_2} =\frac{\frac{1}{2+k}}{2+\frac{k}{2+k}} =\frac{1}{2(2+k)+k} =\frac{1}{4+3k} $$

同様に、

$$ a_4 =\frac{a_3}{2+ka_3} =\frac{\frac{1}{4+3k}}{2+\frac{k}{4+3k}} =\frac{1}{2(4+3k)+k} =\frac{1}{8+7k} $$

さらに、

$$ a_5 =\frac{a_4}{2+ka_4} =\frac{\frac{1}{8+7k}}{2+\frac{k}{8+7k}} =\frac{1}{2(8+7k)+k} =\frac{1}{16+15k} $$

次に一般項を求める。逆数を

$$ b_n=\frac{1}{a_n} $$

とおく。漸化式の両辺の逆数をとると、

$$ \frac{1}{a_{n+1}} =\frac{2+ka_n}{a_n} =\frac{2}{a_n}+k $$

であるから、

$$ b_{n+1}=2b_n+k $$

となる。また、$a_1=1$ より

$$ b_1=1 $$

である。

この一次漸化式は、定数項を消すために $b_n+k$ を考えると、

$$ b_{n+1}+k=2b_n+2k=2(b_n+k) $$

となる。したがって数列 ${b_n+k}$ は公比 $2$ の等比数列であり、

$$ b_n+k=2^{n-1}(b_1+k) $$

である。$b_1=1$ より、

$$ b_n+k=2^{n-1}(1+k) $$

したがって、

$$ b_n=2^{n-1}(1+k)-k $$

である。よって

$$ a_n=\frac{1}{2^{n-1}(1+k)-k} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、分数型の漸化式をそのまま展開しないことである。分母に $a_n$ が含まれる形ではあるが、逆数をとると

$$ b_{n+1}=2b_n+k $$

という基本的な一次漸化式に変わる。

特に、$b_{n+1}=2b_n+k$ を解く際に、特性方程式などを使わなくても、$b_n+k$ を考えれば等比数列に帰着できる。この形に気づけるかが最も重要である。

答え

(1)

$$ a_2=\frac{1}{2+k},\quad a_3=\frac{1}{4+3k},\quad a_4=\frac{1}{8+7k},\quad a_5=\frac{1}{16+15k} $$

(2)

$$ a_n=\frac{1}{2^{n-1}(1+k)-k} $$