数学B 2項間漸化式 問題 7 解説

方針・初手

漸化式は非同次一次漸化式である。まず $a_n$ の一般項を求め、その結果を用いて $P_k$ を等比数列の和と等差数列の和に分けて計算する。

最後の条件は、求めた $a_k$ と $P_k$ を代入して、整数 $k>1$ に関する不等式に直す。

解法1

漸化式

$$ a_n=2a_{n-1}+n-3 $$

に対して、$a_n$ から一次式を引いて等比型にすることを考える。

一般項を

$$ a_n=2^{n-1}-n+1 $$

と予想して確認する。$n=1$ のとき

$$ 2^{0}-1+1=1 $$

より初項に合う。

また、$n\geq 2$ のとき

$$ \begin{aligned} 2a_{n-1}+n-3 &=2{2^{n-2}-(n-1)+1}+n-3\\ &=2^{n-1}-2n+4+n-3\\ &=2^{n-1}-n+1 \end{aligned} $$

となるので、漸化式も満たす。

したがって

$$ a_n=2^{n-1}-n+1 $$

である。

次に、$P_k$ は第 $k$ 項から第 $2k$ 項までの和であるから

$$ P_k=\sum_{n=k}^{2k}a_n $$

である。一般項を代入すると

$$ \begin{aligned} P_k &=\sum_{n=k}^{2k}\left(2^{n-1}-n+1\right)\\ &=\sum_{n=k}^{2k}2^{n-1}-\sum_{n=k}^{2k}(n-1) \end{aligned} $$

である。

まず、等比数列の和について

$$ \sum_{n=k}^{2k}2^{n-1} =2^{k-1}+2^k+\cdots+2^{2k-1} =2^{k-1}(2^{k+1}-1) $$

である。よって

$$ \sum_{n=k}^{2k}2^{n-1}=2^{2k}-2^{k-1} $$

である。

また、$n-1$ は $k-1,k,\ldots,2k-1$ の $k+1$ 個であるから

$$ \sum_{n=k}^{2k}(n-1) =\frac{(k+1){(k-1)+(2k-1)}}{2} =\frac{(k+1)(3k-2)}{2} $$

である。

したがって

$$ P_k=2^{2k}-2^{k-1}-\frac{(k+1)(3k-2)}{2} $$

である。

最後に、$k>1$ を整数とする。

まず

$$ 2^{k-1}-a_k =2^{k-1}-\left(2^{k-1}-k+1\right) =k-1 $$

である。よって

$$ 2^{k-1}-a_k\leq 25 $$

は

$$ k-1\leq 25 $$

すなわち

$$ k\leq 26 $$

と同値である。

次に

$$ \begin{aligned} 2^{2k}-2^{k-1}-P_k &=2^{2k}-2^{k-1} -\left\{2^{2k}-2^{k-1}-\frac{(k+1)(3k-2)}{2}\right\}\\ &=\frac{(k+1)(3k-2)}{2} \end{aligned} $$

である。よって

$$ 2^{2k}-2^{k-1}-P_k\geq 25 $$

は

$$ \frac{(k+1)(3k-2)}{2}\geq 25 $$

すなわち

$$ (k+1)(3k-2)\geq 50 $$

と同値である。

整理すると

$$ 3k^2+k-2\geq 50 $$

より

$$ 3k^2+k-52\geq 0 $$

である。左辺は

$$ 3k^2+k-52=(k-4)(3k+13) $$

と因数分解できる。

$k>1$ では $3k+13>0$ であるから

$$ (k-4)(3k+13)\geq 0 $$

は

$$ k\geq 4 $$

と同値である。

したがって、2つの不等式がともに成立するのは

$$ 4\leq k\leq 26 $$

である。

よって、これらが成立しない整数 $k>1$ の範囲は、その補集合として

$$ 2\leq k\leq 3,\quad k\geq 27 $$

である。

解説

この問題では、漸化式から一般項を求めたあと、$P_k$ の和を「等比数列の和」と「等差数列の和」に分けることが重要である。

特に

$$ P_k=\sum_{n=k}^{2k}\left(2^{n-1}-n+1\right) $$

と書ければ、指数部分と一次式部分を別々に処理できる。

最後の不等式では、$2^{2k}-2^{k-1}$ の部分が $P_k$ の中にも現れるため、差を取ると指数部分が消える。この形を見落とすと計算が複雑に見えるが、実際には $k$ の二次不等式に帰着する。

答え

(1)

$$ a_n=2^{n-1}-n+1 $$

(2)

$$ P_k=2^{2k}-2^{k-1}-\frac{(k+1)(3k-2)}{2} $$

(3)

2つの不等式が成立しない整数 $k>1$ の範囲は

$$ 2\leq k\leq 3,\quad k\geq 27 $$

である。