数学B 2項間漸化式 問題 10 解説

方針・初手

直線を1本ずつ増やしていく。新しく加えた直線が、すでにある直線によっていくつの部分に分けられるかを考え、そのうち「有限な領域」を新しく生む部分だけを数える。

解法1

$k$ 本の直線でできる有限な領域の個数を $P_2(k)$ とする。

すでに $k$ 本の直線が与えられているとし、そこへ新たに $1$ 本の直線を加える。この新しい直線は、もとの $k$ 本の直線とそれぞれ $1$ 点で交わる。

また、どの $3$ 本も $1$ 点で交わらないので、新しい直線上の交点はすべて異なる。したがって、新しい直線は $k$ 個の交点によって

$$ k-1 $$

個の長さが有限な部分と、$2$ 個の長さが有限でない部分に分けられる。

新しい直線のうち、長さが有限な各部分は、既存の領域を1つ切り分け、有限な領域をちょうど1つ増やす。一方、両端に伸びる $2$ 個の長さが有限でない部分は、無限に広がる領域を切るだけなので、有限な領域の個数は増やさない。

よって、$k$ 本から $k+1$ 本へ増やすとき、有限な領域は $k-1$ 個増える。したがって

$$ P_2(k+1)=P_2(k)+k-1 $$

である。

初期値は、直線が1本だけでは有限な領域はできないから

$$ P_2(1)=0 $$

である。よって

$$ \begin{aligned} P_2(k) &=P_2(1)+\sum_{j=1}^{k-1}(j-1)\\ &=\sum_{j=1}^{k-1}(j-1)\\ &=0+1+2+\cdots+(k-2)\\ &=\frac{(k-1)(k-2)}{2} \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ P_2(4)=\frac{3\cdot 2}{2}=3 $$

また

$$ P_2(5)=\frac{4\cdot 3}{2}=6 $$

である。

解法2

全領域の個数から、無限に広がる領域の個数を引いて求める。

$k$ 本の直線がどの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとき、$k$ 本目の直線は、それまでの $k-1$ 本の直線と $k-1$ 個の異なる点で交わる。

よって、$k$ 本目の直線は $k$ 個の部分に分けられ、領域の総数を $k$ 個増やす。したがって、全領域数を $R(k)$ とすると

$$ R(k)=R(k-1)+k $$

であり、$R(0)=1$ だから

$$ R(k)=1+1+2+\cdots+k $$

すなわち

$$ R(k)=1+\frac{k(k+1)}{2} $$

である。

一方、$k$ 本の直線による無限に広がる領域は $2k$ 個である。したがって、有限な領域の個数は

$$ \begin{aligned} P_2(k) &=R(k)-2k\\ &=1+\frac{k(k+1)}{2}-2k\\ &=\frac{k^2+k+2-4k}{2}\\ &=\frac{k^2-3k+2}{2}\\ &=\frac{(k-1)(k-2)}{2} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題は、直線を1本追加したときに何が増えるかを見るのが自然である。

1次元の場合、直線 $L$ 上の $k$ 個の点は、有限な部分を $k-1$ 個作る。平面の場合も同じ発想で、新しく加えた直線上にできる有限な部分の個数を数えると、有限な平面領域の増加数が分かる。

重要なのは、新しい直線全体が作る領域数ではなく、そのうち有限な領域を増やす部分だけを数えることである。新しい直線上には $k-1$ 個の有限な部分と $2$ 個の無限に伸びる部分があり、有限な領域を増やすのは前者だけである。

答え

(1)

$$ P_2(4)=3,\qquad P_2(5)=6 $$

(2)

$$ P_2(k+1)=P_2(k)+k-1 $$

(3)

$$ P_2(k)=\frac{(k-1)(k-2)}{2} $$