数学B 2項間漸化式 問題 9 解説

方針・初手

$S_n$ が $a_n$ を含む形で与えられているので、まず $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用いて隣接2項間の関係を作る。

また、$n=1$ のときは $S_1=a_1$ であるから、初項 $a_1$ もこの式から求められる。

解法1

まず、$S_1=a_1$ より、与式に $n=1$ を代入する。

$$ a_1=9-\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{3^{-1}} $$

ここで $\dfrac{1}{3^{-1}}=3$ であるから、

$$ a_1=9-\frac{1}{2}a_1-3 $$

したがって、

$$ \frac{3}{2}a_1=6 $$

より、

$$ a_1=4 $$

を得る。

次に、$n\geq 1$ に対して

$$ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n $$

を用いる。与式より、

$$ S_{n+1}=9-\frac{1}{2}a_{n+1}-\frac{1}{3^{n-1}} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=S_{n+1}-S_n\\ &=\left(9-\frac{1}{2}a_{n+1}-\frac{1}{3^{n-1}}\right) -\left(9-\frac{1}{2}a_n-\frac{1}{3^{n-2}}\right)\\ &=-\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3^{n-2}}-\frac{1}{3^{n-1}} \end{aligned} $$

ここで、

$$ \frac{1}{3^{n-2}}-\frac{1}{3^{n-1}} =\frac{3-1}{3^{n-1}} =\frac{2}{3^{n-1}} $$

である。よって、

$$ a_{n+1}=-\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{1}{2}a_n+\frac{2}{3^{n-1}} $$

となる。両辺を整理すると、

$$ \frac{3}{2}a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{2}{3^{n-1}} $$

したがって、

$$ 3a_{n+1}=a_n+\frac{4}{3^{n-1}} $$

すなわち、

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+\frac{4}{3^n} $$

である。

次に、この漸化式を解く。両辺に $3^n$ をかけると、

$$ 3^n a_{n+1}=3^{n-1}a_n+4 $$

となる。そこで、

$$ b_n=3^{n-1}a_n $$

とおくと、

$$ b_{n+1}=b_n+4 $$

である。また、

$$ b_1=3^0a_1=4 $$

であるから、数列 ${b_n}$ は初項 $4$、公差 $4$ の等差数列である。よって、

$$ b_n=4+4(n-1)=4n $$

したがって、

$$ 3^{n-1}a_n=4n $$

より、

$$ a_n=\frac{4n}{3^{n-1}} $$

を得る。

解説

この問題では、$S_n$ が単に $n$ の式で与えられているのではなく、右辺に $a_n$ が含まれている。そのため、まず $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を使って $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を作るのが自然である。

得られる漸化式は

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+\frac{4}{3^n} $$

であり、右辺に $3^{-n}$ が現れる。そこで $3^{n-1}a_n$ を新しい数列として見ると、等差数列に帰着できる。

特に、初項 $a_1$ は別に求める必要がある。$S_1=a_1$ を使わずに漸化式だけを解くと、定数が決まらないため注意が必要である。

答え

(1)

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+\frac{4}{3^n} \quad (n=1,2,3,\ldots) $$

また、

$$ a_1=4 $$

である。

(2)

$$ a_n=\frac{4n}{3^{n-1}} \quad (n=1,2,3,\ldots) $$