数学B 2項間漸化式 問題 23 解説

方針・初手

$a_{n+1}-a_n$ を直接見ると、元の漸化式から $a_n$ を含む形になる。そこで差分 $b_n=a_{n+1}-a_n$ どうしの関係を作り、まず $b_n$ の漸化式を解く。その後、$a_n$ は差分の和として求める。

解法1

$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。

元の漸化式より

$$ a_{n+1}=2a_n+n $$

であるから、

$$ b_n=a_{n+1}-a_n=a_n+n $$

である。

次に $b_{n+1}$ を考えると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}-a_{n+1} \\ &=(2a_{n+1}+n+1)-a_{n+1} \\ &=a_{n+1}+n+1 \end{aligned} $$

である。さらに $a_{n+1}=2a_n+n$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=2a_n+n+n+1 \\ &=2a_n+2n+1 \\ &=2(a_n+n)+1 \\ &=2b_n+1 \end{aligned} $$

したがって、

$$ b_{n+1}=2b_n+1 $$

である。

また、

$$ a_2=2a_1+1=2\cdot 1+1=3 $$

より、

$$ b_1=a_2-a_1=3-1=2 $$

である。

よって $b_{n+1}=2b_n+1$ を解く。両辺に $1$ を加えると、

$$ b_{n+1}+1=2(b_n+1) $$

となる。ここで $c_n=b_n+1$ とおくと、

$$ c_{n+1}=2c_n $$

であり、また

$$ c_1=b_1+1=3 $$

である。したがって、

$$ c_n=3\cdot 2^{n-1} $$

となるから、

$$ b_n=3\cdot 2^{n-1}-1 $$

である。

最後に、$b_n=a_{n+1}-a_n$ であるから、

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_n &=1+\sum_{k=1}^{n-1}(3\cdot 2^{k-1}-1) \\ &=1+3\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}-\sum_{k=1}^{n-1}1 \\ &=1+3(2^{n-1}-1)-(n-1) \\ &=3\cdot 2^{n-1}-n-1 \end{aligned} $$

よって、

$$ a_n=3\cdot 2^{n-1}-n-1 $$

である。

解説

この問題の要点は、元の漸化式をそのまま解くのではなく、差分 $b_n=a_{n+1}-a_n$ に注目することである。

$b_n$ は $a_n$ の増加量を表すので、$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係を作ると、元の数列よりも扱いやすい漸化式

$$ b_{n+1}=2b_n+1 $$

が得られる。

この形は定数項つきの等比型漸化式であり、$b_n+1$ を考えると通常の等比数列になる。最後に $a_n$ を求めるときは、差分の総和

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) $$

を使う。ここで和の範囲が $k=1$ から $n-1$ までである点に注意する。

答え

(1)

$$ b_{n+1}=2b_n+1 $$

(2)

$$ b_1=2 $$

$$ b_n=3\cdot 2^{n-1}-1 $$

(3)

$$ a_n=3\cdot 2^{n-1}-n-1 $$