数学B 2項間漸化式 問題 24 解説

方針・初手

和 $S_n$ が $a_n$ を用いて与えられているので、まず $n=1$ を代入して初項 $a_1$ を求める。

次に、$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用いて、$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を作る。

解法1

与えられた式

$$ S_n=3a_n-2n $$

に $n=1$ を代入する。$S_1=a_1$ であるから、

$$ a_1=3a_1-2 $$

より、

$$ a_1=1 $$

である。

次に、

$$ S_{n+1}=3a_{n+1}-2(n+1) $$

であり、また

$$ S_n=3a_n-2n $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} S_{n+1}-S_n &= {3a_{n+1}-2(n+1)}-(3a_n-2n) \end{aligned} $$

となる。

一方、和の定義より

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1} $$

であるから、

$$ a_{n+1}=3a_{n+1}-3a_n-2 $$

となる。これを整理すると、

$$ 2a_{n+1}=3a_n+2 $$

したがって、

$$ a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{2} $$

である。

ここから一般項を求める。漸化式は

$$ a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n+1 $$

である。この形では定数項があるので、定数 $c$ を用いて $a_n+c$ が等比数列になるように変形する。

$$ a_{n+1}+2=\frac{3}{2}a_n+3=\frac{3}{2}(a_n+2) $$

よって、数列 ${a_n+2}$ は公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列である。

また、

$$ a_1+2=1+2=3 $$

だから、

$$ a_n+2=3\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} $$

したがって、

$$ a_n=3\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-2 $$

である。

解説

この問題では、$S_n$ が $a_n$ を含む形で与えられているため、$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を使って漸化式を作るのが自然である。

初項 $a_1$ は、一般項を求める際に必ず必要になるので、最初に $n=1$ を代入して求める。

得られる漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n+1 $$

は、定数項を含む一次漸化式である。この場合は、固定値 $-2$ を見つけて

$$ a_{n+1}+2=\frac{3}{2}(a_n+2) $$

と変形すれば、等比数列に帰着できる。

答え

$$ \text{[ア]} \quad \frac{3a_n+2}{2} $$

$$ \text{[イ]} \quad 3\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-2 $$