数学B 2項間漸化式 問題 25 解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2^n} $$

は、そのままでは右辺に $2^{-n}$ が残る。そこで問題の指示通り $b_n=2^n a_n$ とおくと、漸化式が等差数列の形になる。

解法1

まず、$a_2$ を求める。$a_1=\dfrac{3}{2}$ より、

$$ a_2=\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}+\frac{1}{2} =\frac{3}{4}+\frac{2}{4} =\frac{5}{4} $$

したがって、

$$ \boxed{\frac{5}{4}} $$

である。

次に、$b_n=2^n a_n$ とおく。漸化式の両辺に $2^{n+1}$ をかけると、

$$ \begin{aligned} 2^{n+1}a_{n+1} &=2^{n+1}\left(\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2^n}\right)\\ &=2^n a_n+2 \end{aligned} $$

ここで、$2^{n+1}a_{n+1}=b_{n+1}$、$2^n a_n=b_n$ であるから、

$$ b_{n+1}=b_n+2 $$

よって、

$$ \boxed{b_n+2} $$

である。

また、

$$ b_1=2^1a_1=2\cdot\frac{3}{2}=3 $$

であり、$b_{n+1}=b_n+2$ だから、数列 ${b_n}$ は初項 $3$、公差 $2$ の等差数列である。したがって、

$$ b_n=3+2(n-1)=2n+1 $$

よって、

$$ \boxed{2n+1} $$

である。

さらに、$b_n=2^n a_n$ だから、

$$ a_n=\frac{b_n}{2^n} =\frac{2n+1}{2^n} $$

よって、

$$ \boxed{\frac{2n+1}{2^n}} $$

である。

最後に、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k &= \sum_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{2^k} \end{aligned} $$

を求める。これを

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{2^k} &= 2\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k} + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k} \end{aligned} $$

と分ける。

まず、

$$ S=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k} $$

とおく。この両辺に $\dfrac{1}{2}$ をかけると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}S &= \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^{k+1}} \end{aligned} $$

である。差をとると、

$$ \begin{aligned} S-\frac{1}{2}S &=\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^n}\right)\\ &\quad-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\cdots+\frac{n}{2^{n+1}}\right)\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}S &= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}-\frac{n}{2^{n+1}} \end{aligned} $$

である。等比数列の和より、

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}S &= 1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}} \end{aligned} $$

よって、

$$ \begin{aligned} S &= 2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}\\ &= 2-\frac{n+2}{2^n} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k &= 2\left(2-\frac{n+2}{2^n}\right) + \left(1-\frac{1}{2^n}\right)\\ &= 4-\frac{2n+4}{2^n}+1-\frac{1}{2^n}\\ &= 5-\frac{2n+5}{2^n} \end{aligned} $$

よって、

$$ \boxed{5-\frac{2n+5}{2^n}} $$

である。

解説

この問題の中心は、$b_n=2^n a_n$ とおくことで、係数 $\dfrac{1}{2}$ を消す点である。

元の漸化式は

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2^n} $$

であり、$a_n$ の係数と右辺の $2^{-n}$ がそろっている。そのため、$2^n a_n$ という形に直すと、漸化式が

$$ b_{n+1}=b_n+2 $$

という等差数列に変わる。

最後の和では、

$$ a_k=\frac{2k+1}{2^k} $$

をそのまま足すので、$\sum k/2^k$ の処理が必要になる。これは公比 $\dfrac{1}{2}$ をかけて引く方法で求めるのが標準的である。

答え

(1)

$$ a_2=\boxed{\frac{5}{4}} $$

(2)

$$ b_{n+1}=\boxed{b_n+2} $$

(3)

$$ b_n=\boxed{2n+1},\qquad a_n=\boxed{\frac{2n+1}{2^n}} $$

(4)

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k &= \boxed{5-\frac{2n+5}{2^n}} \end{aligned} $$