数学B 2項間漸化式 問題 29 解説

方針・初手

$S_n$ は初項から第 $n$ 項までの和なので、$n \geqq 2$ で

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

が成り立つ。この関係を、与えられた式

$$ S_n=3a_n+2n-1 $$

に代入して、$a_n$ の漸化式を作る。

解法1

まず $n=1$ のときを調べる。$S_1=a_1$ であるから、

$$ a_1=3a_1+2\cdot 1-1 $$

すなわち

$$ a_1=3a_1+1 $$

である。よって

$$ -2a_1=1 $$

より、

$$ a_1=-\frac{1}{2} $$

を得る。

次に $n\geqq 2$ とする。$S_n=3a_n+2n-1$ と

$$ S_{n-1}=3a_{n-1}+2(n-1)-1 $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} a_n &=S_n-S_{n-1}\\ &={3a_n+2n-1}-{3a_{n-1}+2(n-1)-1}\\ &=3a_n-3a_{n-1}+2 \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ 2a_n=3a_{n-1}-2 $$

より、

$$ a_n=\frac{3}{2}a_{n-1}-1 $$

である。

この漸化式を解く。定数解を $a_n=\alpha$ とおくと、

$$ \alpha=\frac{3}{2}\alpha-1 $$

より、

$$ \alpha=2 $$

である。そこで

$$ b_n=a_n-2 $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} b_n &=a_n-2\\ &=\left(\frac{3}{2}a_{n-1}-1\right)-2\\ &=\frac{3}{2}a_{n-1}-3\\ &=\frac{3}{2}(a_{n-1}-2)\\ &=\frac{3}{2}b_{n-1} \end{aligned} $$

となる。

また、

$$ b_1=a_1-2=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2} $$

であるから、

$$ b_n=-\frac{5}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} $$

である。よって

$$ a_n=b_n+2 $$

より、

$$ a_n=2-\frac{5}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} $$

を得る。

解説

この問題では、和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の関係

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

を使うことが初手である。$S_n$ の式に $a_n$ が含まれているため、単に $S_n$ を求めようとするよりも、差を取って $a_n$ の漸化式に直す方が自然である。

また、$n=1$ のときは $S_{n-1}$ が使えないので、最初に $a_1$ を別に求める必要がある。この処理を省くと初期条件が定まらず、一般項を決定できない。

得られる漸化式は

$$ a_n=\frac{3}{2}a_{n-1}-1 $$

という一次の非同次漸化式である。定数解 $2$ を見つけて $a_n-2$ とおくことで、等比数列に帰着できる。

答え

$$ \boxed{a_n=2-\frac{5}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}} $$