数学B 2項間漸化式 問題 30 解説

方針・初手

与えられた条件は部分和 $S_n$ と第 $n$ 項 $a_n$ の関係である。漸化式を作るには、$n$ の式と $n+1$ の式を並べ、$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ を用いる。

解法1

まず $n=1$ を代入して初項を求める。$S_1=a_1$ であるから、

$$ a_1=-a_1-5\cdot 1-4 $$

より、

$$ 2a_1=-9 $$

したがって、

$$ a_1=-\frac{9}{2} $$

である。

次に、与えられた式

$$ S_n=-a_n-5n-4 $$

において、$n$ を $n+1$ に置き換えると、

$$ S_{n+1}=-a_{n+1}-5(n+1)-4 $$

すなわち、

$$ S_{n+1}=-a_{n+1}-5n-9 $$

である。

一方で、部分和の定義より、

$$ S_{n+1}=S_n+a_{n+1} $$

であるから、

$$ -a_n-5n-4+a_{n+1}=-a_{n+1}-5n-9 $$

となる。これを整理すると、

$$ 2a_{n+1}=a_n-5 $$

よって、求める漸化式は

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n-\frac{5}{2} $$

である。

次にこの漸化式を解く。定数項をなくすために、$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n-\frac{5}{2}$ の不動点を考える。$a_n=\alpha$ とおくと、

$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha-\frac{5}{2} $$

より、

$$ \alpha=-5 $$

である。

したがって、漸化式は

$$ a_{n+1}+5=\frac{1}{2}(a_n+5) $$

と変形できる。

ここで、

$$ b_n=a_n+5 $$

とおくと、

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n $$

である。また、

$$ b_1=a_1+5=-\frac{9}{2}+5=\frac{1}{2} $$

である。

したがって、${b_n}$ は初項 $\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$ b_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

すなわち、

$$ b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

である。

よって、

$$ a_n+5=\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

より、

$$ a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n-5 $$

である。

解説

部分和 $S_n$ が出てくる漸化式では、$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ を使って $S_n$ を消去するのが基本である。

また、得られた漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n-\frac{5}{2} $$

は定数項を含む一次漸化式である。この形では、不動点 $-5$ を見つけて $a_n+5$ を考えると等比数列に帰着できる。

答え

(1)

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n-\frac{5}{2} $$

(2)

$$ a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n-5 $$