数学B 2項間漸化式 問題 41 解説

方針・初手

与えられた漸化式は分数式で表される一次分数型の漸化式である。この型では、まず不動点を求め、その2つの不動点 $\alpha,\beta$ を用いて

$$ b_n=\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta} $$

とおくと、等比数列に帰着できる。

解法1

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{2a_n+1}{a_n+2} $$

において、$a_{n+1}$ と $a_n$ をともに $x$ とおくと、

$$ x=\frac{2x+1}{x+2} $$

である。両辺に $x+2$ をかけると、

$$ x(x+2)=2x+1 $$

より、

$$ x^2=1 $$

したがって、

$$ x=-1,\ 1 $$

である。$\alpha<\beta$ より、

$$ \alpha=-1,\quad \beta=1 $$

となる。

ここで

$$ b_n=\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta} =\frac{a_n+1}{a_n-1} $$

とおく。漸化式を用いて $b_{n+1}$ を計算する。

まず、

$$ a_{n+1}+1 =\frac{2a_n+1}{a_n+2}+1 =\frac{3a_n+3}{a_n+2} =\frac{3(a_n+1)}{a_n+2} $$

また、

$$ a_{n+1}-1 =\frac{2a_n+1}{a_n+2}-1 =\frac{a_n-1}{a_n+2} $$

である。よって、

$$ b_{n+1} =\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1} =\frac{\frac{3(a_n+1)}{a_n+2}}{\frac{a_n-1}{a_n+2}} =3\frac{a_n+1}{a_n-1} =3b_n $$

となる。

また、$a_1=2$ なので、

$$ b_1=\frac{2+1}{2-1}=3 $$

である。したがって、数列 ${b_n}$ は初項 $3$、公比 $3$ の等比数列であるから、

$$ b_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n $$

となる。

ゆえに、

$$ \frac{a_n+1}{a_n-1}=3^n $$

である。これを $a_n$ について解くと、

$$ a_n+1=3^n(a_n-1) $$

より、

$$ a_n+1=3^n a_n-3^n $$

したがって、

$$ (3^n-1)a_n=3^n+1 $$

となる。よって、

$$ a_n=\frac{3^n+1}{3^n-1} $$

である。

解説

一次分数型の漸化式では、不動点を求めてから、それらを用いた比

$$ \frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta} $$

を考えるのが典型処理である。

この問題では不動点が $-1,1$ であるため、$b_n=(a_n+1)/(a_n-1)$ とおくと、漸化式が一気に $b_{n+1}=3b_n$ という等比数列に変わる。分数式を直接反復するより、この置き換えを使う方が計算が安定する。

答え

$$ \alpha=-1,\quad \beta=1 $$

$$ b_1=3,\quad \text{公比}=3 $$

$$ b_n=3^n $$

$$ a_n=\frac{3^n+1}{3^n-1} $$