数学B 2項間漸化式 問題 42 解説

方針・初手

$S_n$ が $a_n$ を含む形で与えられているので、まず $n=1,2$ を代入して初項付近を求める。

その後、$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用いて $a_n$ の漸化式を作る。さらに $b_n=a_{n+1}-a_n-2$ とおくことで、漸化式が等比数列の形に変形できる。

解法1

(1)

$n=1$ を代入すると、$S_1=a_1$ より

$$ a_1=2a_1+1^2-1 $$

である。したがって

$$ a_1=2a_1 $$

より

$$ a_1=0 $$

である。

次に $n=2$ を代入する。$S_2=a_1+a_2$ であり、$a_1=0$ だから $S_2=a_2$ である。よって

$$ a_2=2a_2+2^2-2 $$

すなわち

$$ a_2=2a_2+2 $$

であるから

$$ a_2=-2 $$

となる。

（2） 与えられた式より

$$ S_n=2a_n+n^2-n $$

である。また、$n+1$ を代入すると

$$ S_{n+1}=2a_{n+1}+(n+1)^2-(n+1) $$

である。ここで

$$ (n+1)^2-(n+1)=n^2+n $$

だから

$$ S_{n+1}=2a_{n+1}+n^2+n $$

となる。

一方、

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= {2a_{n+1}+n^2+n}-{2a_n+n^2-n} \\ &=2a_{n+1}-2a_n+2n \end{aligned} $$

である。これを整理して

$$ a_{n+1}-2a_n=-2n $$

を得る。

(3)

$$ b_n=a_{n+1}-a_n-2 $$

とおく。

(2)より

$$ a_{n+1}-2a_n=-2n $$

である。また、$n$ を $n+1$ に置き換えると

$$ a_{n+2}-2a_{n+1}=-2(n+1) $$

であるから

$$ a_{n+2}=2a_{n+1}-2n-2 $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}-a_{n+1}-2 \\ &=(2a_{n+1}-2n-2)-a_{n+1}-2 \\ &=a_{n+1}-2n-4 \end{aligned} $$

である。

一方、

$$ \begin{aligned} 2b_n &=2(a_{n+1}-a_n-2) \\ &=2a_{n+1}-2a_n-4 \\ &=a_{n+1}+(a_{n+1}-2a_n)-4 \\ &=a_{n+1}-2n-4 \end{aligned} $$

である。よって

$$ b_{n+1}=2b_n $$

が成り立つ。

したがって、数列 ${b_n}$ は等比数列であり、公比は $2$ である。

また、

$$ b_1=a_2-a_1-2 $$

であるから、$a_1=0,\ a_2=-2$ を用いて

$$ b_1=-2-0-2=-4 $$

となる。

よって

$$ b_n=-4\cdot 2^{n-1} $$

である。

(4)

$b_n=a_{n+1}-a_n-2$ より

$$ a_{n+1}-a_n=b_n+2 $$

である。したがって

$$ a_{n+1}-a_n=-4\cdot 2^{n-1}+2 $$

となる。

$n\geqq 2$ のとき、$k=1$ から $n-1$ まで足し合わせると

$$ \begin{aligned} a_n-a_1 &=\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) \\ &=\sum_{k=1}^{n-1}{2-4\cdot 2^{k-1}} \end{aligned} $$

である。$a_1=0$ より

$$ a_n=2(n-1)-4\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1} $$

となる。

ここで

$$ \sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=1+2+\cdots+2^{n-2}=2^{n-1}-1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &=2(n-1)-4(2^{n-1}-1) \\ &=2n-2-2^{n+1}+4 \\ &=2n+2-2^{n+1} \end{aligned} $$

である。

この式は $n=1$ のときも

$$ 2\cdot 1+2-2^2=0 $$

となり、$a_1=0$ と一致する。

よって、すべての正の整数 $n$ について

$$ a_n=2n+2-2^{n+1} $$

である。

解説

この問題では、$S_n$ と $a_n$ の関係式から直接 $a_n$ を求めるのではなく、まず

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1} $$

を使って漸化式に直すことが重要である。

得られる漸化式

$$ a_{n+1}-2a_n=-2n $$

は、そのままでは非斉次の漸化式である。しかし、問題で指定された

$$ b_n=a_{n+1}-a_n-2 $$

という置き方を使うと、

$$ b_{n+1}=2b_n $$

となり、等比数列として処理できる。

最後は

$$ a_{n+1}-a_n=b_n+2 $$

に戻して階差を足し上げればよい。

答え

(1)

$$ a_1=0,\qquad a_2=-2 $$

(2)

$$ a_{n+1}-2a_n=-2n $$

(3)

${b_n}$ は初項 $-4$、公比 $2$ の等比数列である。

$$ b_1=-4,\qquad \text{公比 }2 $$

(4)

$$ a_n=2n+2-2^{n+1} $$