数学B 2項間漸化式 問題 45 解説

方針・初手

漸化式 $a_{n+1}=3a_n+8n$ の右辺には $n$ の一次式が残っているので、$b_n=a_n+pn+q$ とおいて、$b_{n+1}$ が $b_n$ の定数倍だけで表せるように $p,q$ を定める。

解法1

$b_n=a_n+pn+q$ より、

$$ a_n=b_n-pn-q $$

である。これを漸化式に代入して $b_{n+1}$ を求める。

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+1}+p(n+1)+q\\ &=3a_n+8n+pn+p+q\\ &=3(b_n-pn-q)+8n+pn+p+q\\ &=3b_n+(8-2p)n+(p-2q) \end{aligned} $$

したがって、${b_n}$ が等比数列となるようにするには、$n$ を含む項と定数項を消せばよい。

$$ 8-2p=0,\qquad p-2q=0 $$

より、

$$ p=4,\qquad q=2 $$

である。

このとき、

$$ b_n=a_n+4n+2 $$

であり、

$$ b_{n+1}=3b_n $$

となる。よって ${b_n}$ は公比 $3$ の等比数列である。

初項は

$$ b_1=a_1+4\cdot 1+2=-2+4+2=4 $$

であるから、

$$ b_n=4\cdot 3^{n-1} $$

となる。

したがって、

$$ a_n=b_n-4n-2 $$

より、

$$ a_n=4\cdot 3^{n-1}-4n-2 $$

である。

解説

この問題の要点は、漸化式の右辺にある $8n$ を、$a_n$ に一次式 $pn+q$ を加えることで吸収する点である。

$b_n=a_n+pn+q$ とおくと、$b_{n+1}$ は

$$ b_{n+1}=3b_n+(8-2p)n+(p-2q) $$

となる。ここで余分な一次式部分を消すように $p,q$ を決めると、単純な等比数列に帰着できる。

答え

(1)

$$ p=4,\qquad q=2 $$

(2)

$$ a_n=4\cdot 3^{n-1}-4n-2 $$