数学B 2項間漸化式 問題 46 解説

方針・初手

$S_n=2a_n+n$ は $S_n$ と $S_{n-1}$ の差を取ると、隣り合う項 $a_n,a_{n-1}$ の関係式になる。

まず $S_n-S_{n-1}=a_n$ を用いて漸化式を作り、次に差 $b_n=a_{n+1}-a_n$ の規則性を調べる。

解法1

まず $n=1$ のとき、$S_1=a_1$ であるから、

$$ a_1=2a_1+1 $$

より、

$$ a_1=-1 $$

である。

(1)

$n\geqq 2$ のとき、

$$ S_n=2a_n+n,\qquad S_{n-1}=2a_{n-1}+(n-1) $$

である。また、

$$ S_n-S_{n-1}=a_n $$

だから、

$$ \begin{aligned} a_n &=(2a_n+n)-{2a_{n-1}+(n-1)} \\ &=2a_n-2a_{n-1}+1 \end{aligned} $$

となる。これを整理すると、

$$ a_n=2a_{n-1}-1 $$

である。

したがって、$n\geqq 2$ において、

$$ a_n=2a_{n-1}-1 $$

である。

(2)

$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。

(1)より、

$$ a_{n+1}=2a_n-1 $$

である。また、$n\geqq 2$ について、

$$ a_n=2a_{n-1}-1 $$

である。これらを引くと、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-a_n &=2a_n-2a_{n-1} \\ &=2(a_n-a_{n-1}) \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ b_n=2b_{n-1}\qquad (n\geqq 2) $$

である。

初項は、

$$ a_2=2a_1-1=2(-1)-1=-3 $$

より、

$$ b_1=a_2-a_1=-3-(-1)=-2 $$

である。

したがって、数列 ${b_n}$ は初項 $-2$、公比 $2$ の等比数列であるから、

$$ b_n=-2\cdot 2^{n-1}=-2^n $$

である。

（3） (2)より、

$$ a_{n+1}-a_n=-2^n $$

である。よって、$n\geqq 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} a_n &=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) \\ &=-1+\sum_{k=1}^{n-1}(-2^k) \end{aligned} $$

となる。

等比数列の和を用いると、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}2^k=2^n-2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &=-1-(2^n-2) \\ &=1-2^n \end{aligned} $$

である。

$n=1$ のときも、

$$ 1-2^1=-1 $$

となり、$a_1=-1$ と一致する。

したがって、すべての $n\geqq 1$ に対して、

$$ a_n=1-2^n $$

である。

解説

この問題の要点は、和 $S_n$ の条件をそのまま扱うのではなく、$S_n-S_{n-1}=a_n$ を使って項同士の漸化式に直すことである。

(1)で得られる漸化式 $a_n=2a_{n-1}-1$ は、定数項を含む一次漸化式である。直接解いてもよいが、(2)では差 $b_n=a_{n+1}-a_n$ を考えることで、等比数列に変形できる。

特に、$b_n$ は $a_n$ そのものではなく「隣り合う項の差」であるため、$a_{n+1}=2a_n-1$ と $a_n=2a_{n-1}-1$ を引き算して作るのが自然である。

答え

(1)

$$ a_n=2a_{n-1}-1\qquad (n\geqq 2) $$

(2)

$$ b_n=-2^n\qquad (n\geqq 1) $$

(3)

$$ a_n=1-2^n\qquad (n\geqq 1) $$