数学B 2項間漸化式 問題 48 解説

方針・初手

漸化式に $\dfrac{1}{a_{n+1}}$ と $\dfrac{1}{a_n}$ が現れているので、逆数を新しい数列としておく。すなわち

$$ b_n=\frac{1}{a_n} $$

とすれば、一次漸化式に直せる。

解法1

$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおく。

$a_1=1$ より

$$ b_1=\frac{1}{a_1}=1 $$

である。また、与えられた漸化式

$$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_n}+1 $$

は

$$ b_{n+1}=2b_n+1 $$

と書ける。

このままでは等比数列ではないので、定数項を消す形に変形する。両辺に $1$ を加えると

$$ b_{n+1}+1=2b_n+2=2(b_n+1) $$

となる。

したがって、数列 ${b_n+1}$ は公比 $2$ の等比数列である。初項は

$$ b_1+1=1+1=2 $$

だから、

$$ b_n+1=2\cdot 2^{n-1}=2^n $$

である。よって

$$ b_n=2^n-1 $$

となる。

$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ であったから、

$$ \frac{1}{a_n}=2^n-1 $$

より

$$ a_n=\frac{1}{2^n-1} $$

である。

解説

逆数を含む漸化式では、まず $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくのが自然である。これにより、分数型の漸化式が

$$ b_{n+1}=2b_n+1 $$

という一次漸化式に変わる。

この形はそのまま等比数列ではないが、$b_n+1$ に注目すると

$$ b_{n+1}+1=2(b_n+1) $$

となり、等比数列として処理できる。

答え

$$ a_n=\frac{1}{2^n-1} $$