数学B 2項間漸化式 問題 47 解説

方針・初手

漸化式の非同次項 $6n^2-12n+2$ は $n$ の2次式である。したがって、$a_n$ に2次式 $3n^2+pn+q$ を加えて、等比数列になるように $p,q$ を決める。

解法1

まず $a_2$ を求める。漸化式に $n=1$ を代入すると、

$$ a_2=3a_1+6\cdot 1^2-12\cdot 1+2 $$

である。$a_1=3$ より、

$$ a_2=9+6-12+2=5 $$

となる。

次に、

$$ b_n=a_n+3n^2+pn+q $$

が公比 $3$ の等比数列になる条件を求める。公比が $3$ であるから、

$$ b_{n+1}=3b_n $$

がすべての $n$ で成り立てばよい。

左辺は、漸化式を用いて

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+1}+3(n+1)^2+p(n+1)+q\\ &={3a_n+6n^2-12n+2}+3(n^2+2n+1)+pn+p+q\\ &=3a_n+9n^2+(p-6)n+(p+q+5) \end{aligned} $$

である。

一方、

$$ 3b_n=3a_n+9n^2+3pn+3q $$

である。したがって、係数を比較して

$$ p-6=3p,\qquad p+q+5=3q $$

を得る。

これを解くと、

$$ p=-3,\qquad q=1 $$

である。

よって

$$ b_n=a_n+3n^2-3n+1 $$

であり、これは公比 $3$ の等比数列である。初項は

$$ b_1=a_1+3\cdot 1^2-3\cdot 1+1=3+3-3+1=4 $$

だから、

$$ b_n=4\cdot 3^{n-1} $$

である。したがって、

$$ a_n=b_n-3n^2+3n-1 $$

より、

$$ a_n=4\cdot 3^{n-1}-3n^2+3n-1 $$

を得る。

最後に、初項から第 $n$ 項までの和を

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=1}^{n}\left(4\cdot 3^{k-1}-3k^2+3k-1\right)\\ &=4\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}-3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}1 \end{aligned} $$

である。

それぞれの和の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} S_n &=4\cdot \frac{3^n-1}{3-1} -3\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +3\cdot \frac{n(n+1)}{2} -n\\ &=2(3^n-1) -\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} +\frac{3n(n+1)}{2} -n \end{aligned} $$

となる。多項式部分を整理すると、

$$ -\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} +\frac{3n(n+1)}{2} -n =-n^3 $$

であるから、

$$ S_n=2(3^n-1)-n^3 $$

すなわち

$$ S_n=2\cdot 3^n-n^3-2 $$

である。

解説

非同次漸化式

$$ a_{n+1}=3a_n+\text{2次式} $$

では、$a_n$ に2次式を加えて等比数列に直すのが基本方針である。今回は問題文が $b_n=a_n+3n^2+pn+q$ の形を与えているので、$b_{n+1}=3b_n$ となるように係数比較すればよい。

一般項を求めた後の和では、等比数列の和と、$\sum k$、$\sum k^2$ の公式を組み合わせるだけである。多項式部分が $-n^3$ に簡単にまとまる点を見落とさないことが重要である。

答え

$$ a_2=5 $$

$$ p=-3,\qquad q=1 $$

$$ a_n=4\cdot 3^{n-1}-3n^2+3n-1 $$

$$ S_n=2\cdot 3^n-n^3-2 $$