数学B 2項間漸化式 問題 56 解説

方針・初手

$f(x)$ は $x=1$ を境に定義が変わる。したがって、まず $x \leqq 1$ と $x>1$ に分けて $f(x)-x$ を調べる。

その後、数列 ${a_n}$ については、初項 $a$ が $1$ 以下か $1$ より大きいかで、以後どちらの式を使い続けるかが決まる。各場合で漸化式を一次漸化式として解けばよい。

解法1

まず、すべての実数 $x$ について $f(x) \geqq x$ を示す。

(i)

$x \leqq 1$ のとき

$$ f(x)-x=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)-x=\frac{1-x}{2} $$

である。$x \leqq 1$ より $1-x \geqq 0$ だから、

$$ f(x)-x \geqq 0 $$

となる。よって $f(x) \geqq x$ である。

(ii)

$x>1$ のとき

$$ f(x)-x=(2x-1)-x=x-1 $$

である。$x>1$ より $x-1>0$ だから、

$$ f(x)-x>0 $$

となる。よって $f(x) \geqq x$ である。

以上より、すべての実数 $x$ について

$$ f(x) \geqq x $$

が成り立つ。

次に、$a \leqq 1$ のとき、すべての正の整数 $n$ について $a_n \leqq 1$ であることを示す。

$n=1$ のとき、$a_1=a$ であり、仮定より $a \leqq 1$ だから、

$$ a_1 \leqq 1 $$

である。

ある正の整数 $k$ について $a_k \leqq 1$ と仮定する。このとき、$f$ の定義より

$$ a_{k+1}=f(a_k)=\frac{1}{2}a_k+\frac{1}{2} $$

である。$a_k \leqq 1$ より、

$$ a_{k+1} =\frac{1}{2}a_k+\frac{1}{2} \leqq \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2} =1 $$

となる。

したがって数学的帰納法により、$a \leqq 1$ のとき、すべての正の整数 $n$ について

$$ a_n \leqq 1 $$

が成り立つ。

最後に、一般項を求める。

(i)

$a \leqq 1$ のとき

先ほど示したように、すべての正の整数 $n$ について $a_n \leqq 1$ である。したがって、常に $x \leqq 1$ の側の式を使えばよいので、

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2} $$

である。

この式から $1$ を引くと、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-1 &= \frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}-1 \\ \frac{1}{2}(a_n-1) \end{aligned} $$

となる。よって ${a_n-1}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

初項は

$$ a_1-1=a-1 $$

だから、

$$ a_n-1=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

である。したがって、

$$ a_n=1+\frac{a-1}{2^{n-1}} $$

となる。

(ii)

$a>1$ のとき

このとき $a_1=a>1$ である。また、$a_n>1$ ならば

$$ a_{n+1}=2a_n-1 $$

であり、

$$ a_{n+1}-1=2a_n-2=2(a_n-1)>0 $$

だから $a_{n+1}>1$ である。

よって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $a_n>1$ である。したがって、常に $x>1$ の側の式を使えばよいので、

$$ a_{n+1}=2a_n-1 $$

である。

この式から $1$ を引くと、

$$ a_{n+1}-1=2(a_n-1) $$

となる。よって ${a_n-1}$ は公比 $2$ の等比数列である。

初項は

$$ a_1-1=a-1 $$

だから、

$$ a_n-1=2^{n-1}(a-1) $$

である。したがって、

$$ a_n=1+2^{n-1}(a-1) $$

となる。

解説

この問題の中心は、$x=1$ が不動点であることに気づくことである。実際、

$$ f(1)=1 $$

であり、$a_n-1$ を考えると漸化式が等比数列になる。

ただし、$f(x)$ は $x=1$ を境に式が変わるため、初項 $a$ が $1$ 以下か $1$ より大きいかで場合分けが必要である。

$a \leqq 1$ のときは、帰納法によって $a_n \leqq 1$ が保たれるので、常に

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2} $$

を使う。一方、$a>1$ のときは $a_n>1$ が保たれるので、常に

$$ a_{n+1}=2a_n-1 $$

を使う。

どちらの場合も、$a_n-1$ に着目すれば等比数列として処理できる。

答え

(1)

すべての実数 $x$ について

$$ f(x) \geqq x $$

が成り立つ。

(2)

$a \leqq 1$ のとき、すべての正の整数 $n$ について

$$ a_n \leqq 1 $$

が成り立つ。

(3)

一般項は

$$ a_n= \begin{cases} 1+\dfrac{a-1}{2^{n-1}} & (a \leqq 1),\\[6pt] 1+2^{n-1}(a-1) & (a>1) \end{cases} $$

である。