数学B 2項間漸化式 問題 55 解説

方針・初手

漸化式 $a_{n+1}=16a_n^3$ は積や累乗を含むため、そのまま扱うより対数をとるのが自然である。

$b_n=\log_2 a_n$ とおくと、積と累乗が一次式に変わる。まず $b_n$ の一次漸化式を解き、その結果から $a_n$ を戻す。

解法1

$a_1=a>0$ であり、漸化式よりすべての $n$ について $a_n>0$ である。したがって $b_n=\log_2 a_n$ はすべての $n$ で定義できる。

$b_n=\log_2 a_n$ とおくと、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=\log_2 a_{n+1} \\ &=\log_2(16a_n^3) \\ &=\log_2 16+\log_2 a_n^3 \\ &=4+3\log_2 a_n \\ &=3b_n+4 \end{aligned} $$

となる。また、

$$ b_1=\log_2 a $$

である。

したがって、$b_n$ は

$$ b_{n+1}=3b_n+4 $$

を満たす一次漸化式である。定数項を消すために、固定値を考える。

$b=3b+4$ とすると、

$$ -2b=4 $$

より、

$$ b=-2 $$

である。そこで、両辺に $2$ を加えると、

$$ b_{n+1}+2=3b_n+6=3(b_n+2) $$

となる。

よって、数列 ${b_n+2}$ は公比 $3$ の等比数列である。初項は

$$ b_1+2=\log_2 a+2 $$

だから、

$$ b_n+2=3^{n-1}(\log_2 a+2) $$

である。したがって、

$$ b_n=3^{n-1}(\log_2 a+2)-2 $$

となる。

よって、(1) の答えは

$$ b_n=3^{n-1}(\log_2 a+2)-2 $$

である。

次に、$b_n=\log_2 a_n$ であるから、

$$ a_n=2^{b_n} $$

である。上で求めた $b_n$ を代入すると、

$$ a_n=2^{3^{n-1}(\log_2 a+2)-2} $$

である。

これをさらに整理する。$\log_2 a+2=\log_2(4a)$ なので、

$$ \begin{aligned} a_n &=2^{3^{n-1}\log_2(4a)-2} \\ &=\frac{1}{4}\cdot 2^{3^{n-1}\log_2(4a)} \\ &=\frac{1}{4}(4a)^{3^{n-1}} \end{aligned} $$

となる。

よって、(2) の答えは

$$ a_n=\frac{(4a)^{3^{n-1}}}{4} $$

である。

最後に、すべての $n$ について $a_n=a$ となるような $a$ を求める。

$a_n=a$ がすべての $n$ で成り立つなら、特に漸化式より

$$ a=16a^3 $$

でなければならない。

$a>0$ なので両辺を $a$ で割ることができ、

$$ 1=16a^2 $$

となる。よって、

$$ a^2=\frac{1}{16} $$

である。

$a>0$ より、

$$ a=\frac{1}{4} $$

である。

実際に $a=\dfrac{1}{4}$ のとき、

$$ a_1=\frac{1}{4} $$

であり、もし $a_n=\dfrac{1}{4}$ なら、

$$ a_{n+1}=16\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{4} $$

となる。したがって、すべての $n$ について $a_n=a$ を満たす。

解説

この問題の中心は、$a_{n+1}=16a_n^3$ という非線形の漸化式を、対数によって一次漸化式に変換する点である。

特に、

$$ \log_2(16a_n^3)=4+3\log_2 a_n $$

となるため、$b_n=\log_2 a_n$ とおけば

$$ b_{n+1}=3b_n+4 $$

という標準的な一次漸化式になる。

また、(3) では「すべての $n$ について $a_n=a$」という条件は、数列が初項からずっと一定であることを意味する。したがって、漸化式に一定値 $a$ を代入して

$$ a=16a^3 $$

を解けばよい。ただし、条件 $a>0$ があるため、$a=-\dfrac{1}{4}$ は除外される。

答え

(1)

$$ b_n=3^{n-1}(\log_2 a+2)-2 $$

(2)

$$ a_n=\frac{(4a)^{3^{n-1}}}{4} $$

(3)

$$ a=\frac{1}{4} $$