数学C 複素数平面(図形問題) 問題 1 解説

方針・初手

円が $1,-1$ を通ることから、その中心は線分 $[-1,1]$ の垂直二等分線上にある。したがって中心は虚軸上にあるので、円の方程式を実座標で置くのが自然である。

解法1

$\alpha$ を

$$ \alpha=x+yi $$

とおく。ただし、$\alpha$ は実数でないから $y\neq 0$ である。

円 $C$ は $1,-1$ を通るので、その中心は $1$ と $-1$ から等距離にある。したがって中心は虚軸上にあり、ある実数 $t$ を用いて中心を $ti$ と表せる。

このとき、$C$ の半径は中心 $ti$ から点 $1$ までの距離であるから、円 $C$ の方程式は

$$ X^2+(Y-t)^2=1+t^2 $$

である。これを整理すると

$$ X^2+Y^2-2tY=1 $$

となる。

$\alpha=x+yi$ が $C$ 上にあるので、

$$ x^2+y^2-2ty=1 $$

が成り立つ。すなわち

$$ 2ty=x^2+y^2-1 $$

である。

次に、

$$ -\frac{1}{\overline{\alpha}} = -\frac{1}{x-yi} -\frac{x+yi}{x^2+y^2} -\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i $$

である。

ここで

$$ \beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}} $$

とおくと、$\beta$ の実部と虚部はそれぞれ

$$ X=-\frac{x}{x^2+y^2},\qquad Y=-\frac{y}{x^2+y^2} $$

である。

$\beta$ が $C$ 上にあることを示すには、

$$ X^2+Y^2-2tY=1 $$

を示せばよい。

実際、

$$ \begin{aligned} X^2+Y^2 &= \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\\ &= \frac{1}{x^2+y^2} \end{aligned} $$

であり、また

$$ -2tY = -2t\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right) \frac{2ty}{x^2+y^2} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} X^2+Y^2-2tY &= \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2ty}{x^2+y^2}\\ &= \frac{1+2ty}{x^2+y^2} \end{aligned} $$

となる。先ほど得た $2ty=x^2+y^2-1$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1+2ty}{x^2+y^2} &= \frac{1+x^2+y^2-1}{x^2+y^2}\\ &= 1 \end{aligned} $$

である。

したがって、$\beta=-\dfrac{1}{\overline{\alpha}}$ は円 $C$ 上にある。

ゆえに、円 $C$ は $-\dfrac{1}{\overline{\alpha}}$ も通る。

解法2

円 $C$ は $1,-1$ を通るので、中心は虚軸上にある。そこで、ある実数 $t$ を用いて円 $C$ の方程式を複素数 $z$ に対して

$$ |z-ti|^2=|1-ti|^2 $$

と書ける。

右辺は

$$ |1-ti|^2=1+t^2 $$

であり、左辺を展開すると

$$ |z-ti|^2 = |z|^2-2t\operatorname{Im}z+t^2 $$

である。

したがって、円 $C$ の方程式は

$$ |z|^2-2t\operatorname{Im}z=1 $$

となる。

$\alpha$ が $C$ 上にあるので、

$$ |\alpha|^2-2t\operatorname{Im}\alpha=1 $$

である。これより

$$ 2t\operatorname{Im}\alpha=|\alpha|^2-1 $$

を得る。

ここで

$$ \beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}} $$

とおく。$\alpha\neq 0$ であることに注意する。実際、$\alpha=0$ ならば $1,-1,0$ は一直線上にあり、これらを通る円は存在しないため、問題の仮定に反する。

このとき

$$ |\beta|^2 = \left|-\frac{1}{\overline{\alpha}}\right|^2 \frac{1}{|\alpha|^2} $$

であり、また

$$ \operatorname{Im}\beta = \operatorname{Im}\left(-\frac{\alpha}{|\alpha|^2}\right) -\frac{\operatorname{Im}\alpha}{|\alpha|^2} $$

である。

よって

$$ |\beta|^2-2t\operatorname{Im}\beta = \frac{1}{|\alpha|^2} + \frac{2t\operatorname{Im}\alpha}{|\alpha|^2} = \frac{1+2t\operatorname{Im}\alpha}{|\alpha|^2} $$

である。

ここに $2t\operatorname{Im}\alpha=|\alpha|^2-1$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} |\beta|^2-2t\operatorname{Im}\beta &= \frac{1+|\alpha|^2-1}{|\alpha|^2}\\ &= 1 \end{aligned} $$

となる。

したがって $\beta$ は円 $C$ の方程式を満たすので、

$$ -\frac{1}{\overline{\alpha}} $$

も円 $C$ 上にある。

解説

この問題の要点は、$1$ と $-1$ を通る円の中心が虚軸上にあることを使う点である。中心を $ti$ と置くと、円の方程式は

$$ |z|^2-2t\operatorname{Im}z=1 $$

という単純な形になる。

あとは、$\alpha$ がこの式を満たすことから得られる関係式を、$-\dfrac{1}{\overline{\alpha}}$ に代入して確認すればよい。複素数平面の問題では、図形条件を $|z|$ や $\operatorname{Im}z$ の式に翻訳することが重要である。

答え

円 $C$ が $1,-1,\alpha$ を通るならば、

$$ -\frac{1}{\overline{\alpha}} $$

も円 $C$ 上にある。