名古屋大学 2022年 理系 第3問 解説

方針・初手

与えられた $\alpha, \beta$ の方程式から比 $\frac{\beta}{\alpha}$ の値を求め、複素数平面における頂点の位置関係を特定する。その結果と正六角形の幾何学的性質を用いて、$\alpha$ と $\beta$ がどの頂点に対応するかを決定する。 次に $\gamma$ の方程式が因数分解できる形になっていることに着目して解き、残りの頂点の条件から $\gamma$ の候補を絞り込んで各頂点の複素数を決定する。

解法1

(1)

与えられた方程式 $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$ の両辺を $\alpha^2 \neq 0$ で割ると、

$$ \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2 - 2\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) + 4 = 0 $$

解の公式より、

$$ \frac{\beta}{\alpha} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i = 2\left(\cos \left(\pm \frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\pm \frac{\pi}{3}\right)\right) $$

条件 $0 \leqq \arg\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) \leqq \pi$ より偏角は正であるから、

$$ \frac{\beta}{\alpha} = 1 + \sqrt{3}i $$

これより、$\beta = \alpha(1+\sqrt{3}i) = 2\alpha\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$ を得る。 これは、原点 $O$ を中心として $\alpha$ を反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ 回転させ、原点からの距離を2倍にした点が $\beta$ であることを意味する。

正六角形 $OABCDE$ の頂点は、反時計回りに $O, A, B, C, D, E$ の順に並ぶ。 頂点 $A$ に対応する複素数を $w$ とすると、原点 $O$ から各頂点への距離と偏角の相対関係により、各頂点の複素数は次のように表される。

$$ \begin{aligned} A &= w \\ B &= \sqrt{3}w \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right) = w\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \\ C &= 2w \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) = w(1 + \sqrt{3}i) \\ D &= \sqrt{3}w \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{3}wi \\ E &= w \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right) = w\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \end{aligned} $$

このうち、ある頂点を $(1+\sqrt{3}i)$ 倍して別の頂点になる組み合わせを探す。 原点からの距離が2倍になる組み合わせは、距離の比が $1:2$ となる $OA$ と $OC$、または $OE$ と $OC$ に限られる。 それぞれの偏角の差を調べると $\frac{C}{A} = 1+\sqrt{3}i$ となるため、$\alpha = A$, $\beta = C$ の組のみが条件を満たす。

(2)

与えられた $\gamma$ の方程式

$$ 2\gamma^2 - (3\alpha + \beta + 2)\gamma + (\alpha + 1)(\alpha + \beta) = 0 $$

について、一次の係数を $3\alpha + \beta + 2 = 2(\alpha+1) + (\alpha+\beta)$ と変形すると、左辺は次のように因数分解できる。

$$ \{2\gamma - (\alpha+\beta)\}\{\gamma - (\alpha+1)\} = 0 $$

よって、$\gamma = \frac{\alpha+\beta}{2}$ または $\gamma = \alpha + 1$ である。

$\alpha = A, \beta = C$ のとき、$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{A+C}{2}$ は線分 $AC$ の中点を表す。正六角形の性質上、この点は頂点ではないため不適である。 したがって、$\gamma = \alpha + 1$ が成り立つ。 $\gamma$ は $A, B, C, D, E$ のいずれかであり、$\alpha, \beta, \gamma$ が相異なるという条件から $\gamma$ は $B, D, E$ のいずれかとなる。

(i) $\gamma = B$ のとき

$B = A + 1$ が成り立つ。 (1) の考察より $B = A\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ であるから、

$$ A\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = A + 1 $$

整理して、

$$ A\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 1 $$

$$ A = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$

このとき、各複素数は以下のようになり条件を満たす。

$$ \begin{aligned} \alpha &= A = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \gamma &= B = A + 1 = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \beta &= C = A(1+\sqrt{3}i) = 2 \end{aligned} $$

(ii) $\gamma = D$ のとき

$D = A + 1$ が成り立つ。 $D = \sqrt{3}iA$ であるから、

$$ \sqrt{3}iA = A + 1 $$

$$ A(\sqrt{3}i - 1) = 1 $$

$$ A = \frac{1}{-1 + \sqrt{3}i} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i $$

このとき、各複素数は以下のようになり条件を満たす。

$$ \begin{aligned} \alpha &= A = -\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i \\ \gamma &= D = A + 1 = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i \\ \beta &= C = A(1+\sqrt{3}i) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{aligned} $$

(iii) $\gamma = E$ のとき

$E = A + 1$ が成り立つ。 $E = A\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ であるから、

$$ A\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = A + 1 $$

$$ A\left(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 1 $$

$$ A = \frac{1}{-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}i $$

このとき、各複素数は以下のようになり条件を満たす。

$$ \begin{aligned} \alpha &= A = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}i \\ \gamma &= E = A + 1 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}i \\ \beta &= C = A(1+\sqrt{3}i) = -\frac{2\sqrt{3}}{3}i \end{aligned} $$

解説

• 複素数平面における正多角形の問題では、ある1つの頂点（本問では $A$）を基準にして、回転と拡大によって他のすべての頂点を表すのが定石である。
• (2)における $\gamma$ の2次方程式は、展開して係数を比較する前に、式の形から因数分解できることに気づくのが最大のポイントである。係数から和と積を見抜くことで計算量を大幅に減らすことができる。
• 図示に関しては、実際に答案を作成する際は求めた $\alpha, \beta, \gamma$ の座標を正しく複素数平面上にプロットし、それらの点と原点 $O$ を含む正六角形を描画すればよい。

答え

(1)

$$ \frac{\beta}{\alpha} = 1 + \sqrt{3}i $$

$\alpha$ は頂点 $A$、$\beta$ は頂点 $C$ である。

(2)

組 $(\alpha, \beta, \gamma)$ は以下の3つである。

1. $\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \ 2, \ \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ （図示は、原点 $O$ と上記をそれぞれ $A, C, B$ とし、残りの頂点 $D\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right), E\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ を結ぶ正六角形を描く）

2. $\left(-\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i, \ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \ \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i\right)$ （図示は、原点 $O$ と上記をそれぞれ $A, C, D$ とし、残りの頂点 $B\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right), E\left(\frac{1}{2}\right)$ を結ぶ正六角形を描く）

3. $\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}i, \ -\frac{2\sqrt{3}}{3}i, \ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}i\right)$ （図示は、原点 $O$ と上記をそれぞれ $A, C, E$ とし、残りの頂点 $B\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right), D\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ を結ぶ正六角形を描く）