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大阪大学 2022年理系第1問解説

方針・初手

$z$ の軌跡（条件式）が与えられており、$z$ と $w$ の関係式から $w$ の軌跡を求める問題である。関係式 $z+w=zw$ を $z$ について解き、$z$ の軌跡の式 $\left| z - \frac{3}{2} \right| = r$ に代入することで、$w$ についての方程式を導く。その後、$r$ の値によって場合分けをして図形を特定する。

解法1

$z+w=zw$ より、

$$ z(w-1) = w $$

ここで $w = 1$ とすると $0 = 1$ となり不合理であるため、$w \neq 1$ である。したがって、両辺を $w-1$ で割ることができて、

$$ z = \frac{w}{w-1} $$

となる。

点 $z$ は点 $\frac{3}{2}$ を中心とする半径 $r$ の円周上を動くため、

$$ \left| z - \frac{3}{2} \right| = r $$

を満たす。これに $z = \frac{w}{w-1}$ を代入すると、

$$ \left| \frac{w}{w-1} - \frac{3}{2} \right| = r $$

$$ \left| \frac{2w - 3(w-1)}{2(w-1)} \right| = r $$

$$ \left| \frac{-w+3}{2(w-1)} \right| = r $$

$$ \frac{|w-3|}{2|w-1|} = r $$

$$ |w-3| = 2r|w-1| $$

両辺を2乗すると、

$$ |w-3|^2 = 4r^2|w-1|^2 $$

$$ (w-3)(\overline{w}-3) = 4r^2(w-1)(\overline{w}-1) $$

$$ |w|^2 - 3w - 3\overline{w} + 9 = 4r^2(|w|^2 - w - \overline{w} + 1) $$

整理して、

$$ (1-4r^2)|w|^2 - (3-4r^2)w - (3-4r^2)\overline{w} + 9 - 4r^2 = 0 $$

を得る。

ここで、$1-4r^2 = 0$ となるか否か、すなわち $r = \frac{1}{2}$ か $r \neq \frac{1}{2}$ かで場合分けを行う。

(i)

$r = \frac{1}{2}$ のとき

方程式は

$$ -2w - 2\overline{w} + 8 = 0 $$

$$ w + \overline{w} = 4 $$

となる。これは、点 $w$ の実部が $2$ であることを意味するため、点 $w$ は点 $2$ を通り実軸に垂直な直線を描く。なお、この直線上にある点は $w=1$ とはならないため、$w \neq 1$ を満たす。

(ii)

$r \neq \frac{1}{2}$ のとき

方程式の両辺を $1-4r^2$ で割ると、

$$ |w|^2 - \frac{3-4r^2}{1-4r^2}w - \frac{3-4r^2}{1-4r^2}\overline{w} + \frac{9-4r^2}{1-4r^2} = 0 $$

平方完成を行うと、

$$ \left| w - \frac{3-4r^2}{1-4r^2} \right|^2 - \left( \frac{3-4r^2}{1-4r^2} \right)^2 + \frac{9-4r^2}{1-4r^2} = 0 $$

$$ \left| w - \frac{3-4r^2}{1-4r^2} \right|^2 = \frac{(3-4r^2)^2 - (9-4r^2)(1-4r^2)}{(1-4r^2)^2} $$

分子を計算する。

$$ \begin{aligned} (3-4r^2)^2 - (9-4r^2)(1-4r^2) &= (9 - 24r^2 + 16r^4) - (9 - 40r^2 + 16r^4) \\ &= 16r^2 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \left| w - \frac{3-4r^2}{1-4r^2} \right|^2 = \frac{16r^2}{(1-4r^2)^2} $$

両辺の平方根をとると、

$$ \left| w - \frac{3-4r^2}{1-4r^2} \right| = \frac{4r}{|1-4r^2|} $$

となる。これは、点 $w$ が中心 $\frac{3-4r^2}{1-4r^2}$、半径 $\frac{4r}{|1-4r^2|}$ の円を描くことを示している。また、もし $w=1$ がこの円上にあると仮定すると、元の方程式 $|w-3| = 2r|w-1|$ から $|1-3| = 0$ となり矛盾が生じる。したがって、この円上の点はすべて $w \neq 1$ を満たす。

解法2

途中までは解法1と同様にして、以下の方程式を導く。

$$ |w-3| = 2r|w-1| $$

この式は、複素数平面上の2点 $3, 1$ からの距離の比が $2r : 1$ であるような点 $w$ の軌跡を表している。

(i)

$2r = 1$ すなわち $r = \frac{1}{2}$ のとき

$$ |w-3| = |w-1| $$

これは、2点 $3, 1$ を結ぶ線分の垂直二等分線を表す。 2点の中点は $2$ であり、実軸上の点であるため、軌跡は点 $2$ を通り実軸に垂直な直線となる。

(ii)

$2r \neq 1$ すなわち $r \neq \frac{1}{2}$ のとき

点 $w$ の軌跡は、2点 $3, 1$ を結ぶ線分を $2r : 1$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）となる。

内分点は、

$$ \frac{1 \cdot 3 + 2r \cdot 1}{2r + 1} = \frac{2r+3}{2r+1} $$

外分点は、

$$ \frac{-1 \cdot 3 + 2r \cdot 1}{2r - 1} = \frac{2r-3}{2r-1} $$

したがって、円の中心はこれら2点の中点であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \left( \frac{2r+3}{2r+1} + \frac{2r-3}{2r-1} \right) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(2r+3)(2r-1) + (2r-3)(2r+1)}{(2r+1)(2r-1)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(4r^2 + 4r - 3) + (4r^2 - 4r - 3)}{4r^2-1} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{8r^2 - 6}{4r^2-1} \\ &= \frac{4r^2-3}{4r^2-1} \\ &= \frac{3-4r^2}{1-4r^2} \end{aligned} $$

円の半径は、2点間の距離の半分であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \left| \frac{2r+3}{2r+1} - \frac{2r-3}{2r-1} \right| &= \frac{1}{2} \left| \frac{(2r+3)(2r-1) - (2r-3)(2r+1)}{4r^2-1} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{8r}{4r^2-1} \right| \\ &= \frac{4r}{|4r^2-1|} \\ &= \frac{4r}{|1-4r^2|} \end{aligned} $$

以上より、中心が $\frac{3-4r^2}{1-4r^2}$、半径が $\frac{4r}{|1-4r^2|}$ の円となる。（除外点の確認は解法1と同様であるため省略する）

解説

複素数平面における軌跡の典型問題である。与えられた関係式を代入しやすい形に変形して代入するという基本的な流れに乗ればよい。代入して得られた $|w-\alpha| = k|w-\beta|$ の形から円の式（アポロニウスの円）を導く処理は頻出であり、解法1のように式を展開して平方完成する方法と、解法2のように図形的性質を利用して直径の両端の点を求める方法のいずれも習熟しておきたい。ただし、$|w|^2$ の係数が $0$ になる場合（直線になる場合）の条件を忘れずに場合分けすることが重要である。また、分母が $0$ となる $w=1$ が軌跡に含まれないことの確認も記述しておくのが安全である。