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微分法の公式・定理・考え方

数学2の微分法で使う公式・定理・考え方を、大学入試数学で実際に使う場面に絞って整理します。数学2の微分法は、多項式関数のグラフを読むための道具です。導関数を計算するだけでなく、接線、増減、最大最小、実数解の個数、不等式証明へつなげることが重要です。

入試問題解析では、1961年度〜2025年度の数学2の微分法915問を分類しています。関連して出やすい分類は、テーマ/最大・最小512問、数学2/積分法383問、数学2/図形と式345問、テーマ/面積・体積291問、テーマ/接線・法線278問、数学2/三角関数146問です。

導関数の基本公式

数学2では、主に多項式関数の微分を扱います。まず次の形を正確に使えることが前提です。

導関数 $f'(x)$ は、曲線 $y=f(x)$ の $x$ における接線の傾きを表します。計算した導関数を、何の判断に使うのかまでセットで見る必要があります。

曲線 $y=f(x)$ 上の $x=a$ における接線は、

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

です。接点が分からない問題では、接点の $x$ 座標を $a$ と置き、接線の式を $a$ で表して条件に代入します。

直線 $y=mx+n$ が曲線 $y=f(x)$ に接することを使う場合は、$f(x)-(mx+n)$ が接点で重解を持つ、と見ることもできます。接点を $a$ とすると、$f(a)=ma+n$ かつ $f'(a)=m$ です。接線問題では、この2条件を混同しないことが大切です。

増減表では、次の順番で処理します。

極値は、$f'(x)=0$ だけでは決まりません。符号変化を見ないまま極大・極小と書くと失点します。三次関数では、導関数が二次式になるため、判別式や因数分解で符号の変化を確認する場面が多くあります。

閉区間 $a \le x \le b$ で最大値・最小値を求めるときは、端点と極値の候補をすべて比較します。

微分して極値だけを見ても、最大値・最小値は決まりません。特に区間が指定されている問題では、端点の値を比較から外さないでください。

方程式 $f(x)=0$ の実数解の個数は、グラフ $y=f(x)$ と $x$ 軸の交点の個数として見ます。パラメータを含む場合は、$f(x)=k$ のように整理し、曲線と水平線の交点の個数で判断すると見通しが良くなります。

この型では、増減表で関数の形を決めてから、極値と端点、極限的な振る舞いを確認します。極値の値が $0$ より大きいか、小さいか、等しいかで解の個数が変わります。

不等式 $f(x) \ge g(x)$ を示すときは、$h(x)=f(x)-g(x)$ と置いて $h(x) \ge 0$ を示します。区間があるなら、その区間での $h(x)$ の最小値を調べます。

微分を使う不等式証明では、次の形が基本です。

微分法は、計算そのものよりも、導関数の符号からグラフの情報を取り出す段階で差が出ます。

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