トップ› 大阪大学› 2025年› 文系第3問

大阪大学 2025年文系第3問解説

方針・初手

放物線 $C$ は $y$ 軸に関して対称であり、図形 $S, T$ の面積は点 $P$ の $x$ 座標の符号によらず、絶対値が等しければ同じ値となる。よって、点 $P$ の $x$ 座標を $p > 0$ と設定して面積を立式し、$S - T$ の最大値を微分を用いて求める。

解法1

点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とする。放物線 $C: y = x^2 - 1$ は $y$ 軸に関して対称であるため、点 $P$ と $y$ 軸に関して対称な点を $P'$ とすると、点 $P$ を用いて作られる図形と点 $P'$ を用いて作られる図形は $y$ 軸に関して対称となり、その面積は等しい。よって、$p > 0$ として $S - T$ の最大値を求めても一般性を失わない。以下、$p > 0$ とする。

点 $P$ の座標は $(p, p^2 - 1)$ である。直線 $OP$ の方程式は、

$$ y = \frac{p^2 - 1}{p} x $$

放物線 $C$ 上の点 $P$ における接線 $l$ の方程式を求める。 $y' = 2x$ より接線の傾きは $2p$ であるから、

$$ y - (p^2 - 1) = 2p(x - p) $$

すなわち

$$ y = 2px - p^2 - 1 $$

となる。

面積 $S$ は、放物線 $C$、線分 $OP$、および $y$ 軸（$x=0$）で囲まれた部分の面積である。 $0 \leqq x \leqq p$ において、放物線 $C$ と直線 $OP$ の上下関係を調べる。

$$ \begin{aligned} \frac{p^2 - 1}{p} x - (x^2 - 1) &= -x^2 + \left( p - \frac{1}{p} \right)x + 1 \\ &= -(x - p) \left( x + \frac{1}{p} \right) \end{aligned} $$

$p > 0$ より $0 \leqq x \leqq p$ において $(x - p) \left( x + \frac{1}{p} \right) \leqq 0$ であるから、常に直線 $OP$ が放物線 $C$ 以上にある。したがって、面積 $S$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{p} \left\{ \frac{p^2 - 1}{p} x - (x^2 - 1) \right\} dx \\ &= \int_{0}^{p} \left( -x^2 + p x - \frac{1}{p} x + 1 \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{p}{2}x^2 - \frac{1}{2p}x^2 + x \right]_{0}^{p} \\ &= -\frac{1}{3}p^3 + \frac{1}{2}p^3 - \frac{1}{2}p + p \\ &= \frac{1}{6}p^3 + \frac{1}{2}p \end{aligned} $$

次に、面積 $T$ は、放物線 $C$、接線 $l$、および $y$ 軸で囲まれた部分の面積である。放物線は下に凸であるから、接線は常に放物線以下にある。したがって、面積 $T$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} T &= \int_{0}^{p} \left\{ (x^2 - 1) - (2px - p^2 - 1) \right\} dx \\ &= \int_{0}^{p} (x^2 - 2px + p^2) dx \\ &= \int_{0}^{p} (x - p)^2 dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}(x - p)^3 \right]_{0}^{p} \\ &= -\frac{1}{3}(-p)^3 \\ &= \frac{1}{3}p^3 \end{aligned} $$

よって、$S - T$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} S - T &= \left( \frac{1}{6}p^3 + \frac{1}{2}p \right) - \frac{1}{3}p^3 \\ &= -\frac{1}{6}p^3 + \frac{1}{2}p \end{aligned} $$

これを $f(p)$ とおく。$p > 0$ における $f(p)$ の最大値を求める。

$$ f'(p) = -\frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(p - 1)(p + 1) $$

$p > 0$ において $f'(p) = 0$ となるのは $p = 1$ のときである。増減表は以下のようになる。

$p$	$(0)$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(p)$		$+$	$0$	$-$
$f(p)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(p)$ は $p = 1$ で最大となる。最大値は、

$$ f(1) = -\frac{1}{6} \cdot 1^3 + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{3} $$

対称性から $p < 0$ の場合も最大値は同じである。以上より、$S - T$ の最大値は $\frac{1}{3}$ である。

解説

この問題は、放物線に関する面積の基本計算と、3次関数の最大値を求める微分法の標準的な問題である。計算量を減らすための工夫として、以下の点が挙げられる。

対称性の利用: 放物線が $y$ 軸対称であることを利用し、接点 $P$ の $x$ 座標を正に限定することで、絶対値を外す手間を省くことができる。
面積計算の定石: 面積 $T$ の計算では、被積分関数が $(x - \text{接点の } x \text{ 座標})^2$ の形になるという定石を利用することで、展開せずに積分を素早く正確に行える。