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東京大学 2025年文系第1問解説

方針・初手

放物線上の点における接線の傾きを微分を用いて求め、それに直交する法線の方程式を立式する。 (1)では法線と放物線の交点を求めるため、連立方程式を解いて点 $P$ 以外の解を求める。 (2)では(1)で得た結果を利用し、点 $Q$ についても同様の操作を適用して点 $R$ の $x$座標を $a$ の関数として表す。その後、微分または相加平均と相乗平均の大小関係などを活用して最小値を求める。

解法1

(1)

$y = x^2$ より $y' = 2x$ である。点 $P(a, a^2)$ における放物線 $C$ の接線の傾きは $2a$ である。直線 $l$ はこの接線に直交し、$a > 0$ であるから、直線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{2a}$ となる。したがって、直線 $l$ の方程式は

$$ y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) $$

となる。直線 $l$ と放物線 $C$ の交点の $x$座標は、次の方程式の解である。

$$ x^2 - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) $$

$$ (x - a)(x + a) = -\frac{1}{2a}(x - a) $$

交点 $Q$ は点 $P$ と異なる点であるため、$x \neq a$ である。よって両辺を $x - a$ で割ることができ、

$$ x + a = -\frac{1}{2a} $$

$$ x = -a - \frac{1}{2a} $$

これが $Q$ の $x$座標である。

(2)

点 $Q$ の $x$座標を $q$ とおくと、$q = -a - \frac{1}{2a}$ である。 $a > 0$ より $q < 0$ であり、特に $q \neq 0$ である。直線 $m$ は点 $Q(q, q^2)$ における $C$ の接線に直交するため、(1)における点 $P$ の議論と同様に、直線 $m$ と $C$ の交点 $R$ の $x$座標を $r$ とおくと、

$$ r = -q - \frac{1}{2q} $$

と表される。ここで $q = -\frac{2a^2+1}{2a}$ を代入する。

$$ r = - \left( -\frac{2a^2+1}{2a} \right) - \frac{1}{2 \left( -\frac{2a^2+1}{2a} \right)} $$

$$ r = \frac{2a^2+1}{2a} + \frac{a}{2a^2+1} $$

これを $a$ の関数 $f(a)$ とおく。

$$ f(a) = a + \frac{1}{2a} + \frac{a}{2a^2+1} $$

$f(a)$ を $a$ で微分する。

$$ f'(a) = 1 - \frac{1}{2a^2} + \frac{1 \cdot (2a^2+1) - a \cdot 4a}{(2a^2+1)^2} $$

$$ f'(a) = \frac{2a^2-1}{2a^2} + \frac{1-2a^2}{(2a^2+1)^2} $$

$$ f'(a) = (2a^2-1) \left\{ \frac{1}{2a^2} - \frac{1}{(2a^2+1)^2} \right\} $$

$$ f'(a) = (2a^2-1) \frac{(2a^2+1)^2 - 2a^2}{2a^2(2a^2+1)^2} $$

$$ f'(a) = (2a^2-1) \frac{4a^4 + 2a^2 + 1}{2a^2(2a^2+1)^2} $$

$a > 0$ において $\frac{4a^4+2a^2+1}{2a^2(2a^2+1)^2} > 0$ であるため、$f'(a)$ の符号は $2a^2-1$ の符号と一致する。 $2a^2-1 = 0$ かつ $a > 0$ を満たすのは $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。増減表を書くと以下のようになる。

$0 < a < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f'(a) < 0$ より $f(a)$ は単調減少。 $a > \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f'(a) > 0$ より $f(a)$ は単調増加。

よって、$f(a)$ は $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき最小となる。このときの最小値は、

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+1} $$

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4} $$

解法2

(2) の別解

(1)の議論から、$R$ の $x$座標 $r$ は

$$ r = \frac{2a^2+1}{2a} + \frac{a}{2a^2+1} $$

である。ここで、$x = \frac{2a^2+1}{a}$ とおくと、$x = 2a + \frac{1}{a}$ となる。 $a > 0$ であるから、$2a > 0, \frac{1}{a} > 0$ であり、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ x = 2a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{2a \cdot \frac{1}{a}} = 2\sqrt{2} $$

が成り立つ。等号成立条件は $2a = \frac{1}{a}$、すなわち $a^2 = \frac{1}{2}$ より $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときであり、これは $a > 0$ を満たす。このとき $r$ を $x$ を用いて表し、$g(x)$ とおく。

$$ g(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{x} $$

$x \ge 2\sqrt{2}$ の範囲における $g(x)$ の最小値を考える。$g(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ g'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{2x^2} $$

$x \ge 2\sqrt{2}$ のとき、$x^2 \ge 8$ であるため $g'(x) > 0$ が成り立つ。したがって、$g(x)$ は $x \ge 2\sqrt{2}$ において単調に増加する。ゆえに、$x = 2\sqrt{2}$ のとき $g(x)$ は最小となり、その値は

$$ g(2\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{4} $$

最小値を与える $a$ も $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ として存在する。

解説

放物線における法線の方程式と交点の座標を求める、数学IIの微分法の標準的な問題である。 (1) では、方程式 $x^2 - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a)$ を展開して2次方程式の解の公式を使うよりも、$x - a$ を因数に持つことに気づいて約分することで計算量を大きく減らすことができる。これは接点と交点を扱う際の定石である。

(2) では $r$ を $a$ の関数として立式した後の処理がポイントになる。解法1のようにそのまま微分しても解けるが、式が少し煩雑になるため計算ミスに注意が必要である。解法2のように式の形に着目して変数を置き換え、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて定義域を求めた上で微分するアプローチを取ると、見通しよく計算を進めることができる。置き換えた後の関数の変域を確認することを忘れないこと。