九州大学 2025年 文系 第1問 解説

方針・初手

2つの曲線のそれぞれにおいて接点を独立した文字で置き、各々の接線の方程式を立てる。これらが同一の直線を表すという条件から、傾きと $y$ 切片の係数を比較して連立方程式を解く。

解法1

$C_1 : y = x^3 + x^2 - x - 1$, $C_2 : y = x^2$ とおく。

$f(x) = x^3 + x^2 - x - 1$ とすると、$f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$ である。 $C_1$ 上の点 $(s, s^3 + s^2 - s - 1)$ における接線の方程式は、

$$y - (s^3 + s^2 - s - 1) = (3s^2 + 2s - 1)(x - s)$$

$$y = (3s^2 + 2s - 1)x - 2s^3 - s^2 - 1 \quad \cdots (1)$$

また、$g(x) = x^2$ とすると、$g'(x) = 2x$ である。 $C_2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線の方程式は、

$$y - t^2 = 2t(x - t)$$

$$y = 2tx - t^2 \quad \cdots (2)$$

直線 (1) と直線 (2) が一致するとき、傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しいから、

$$3s^2 + 2s - 1 = 2t \quad \cdots (3)$$

$$- 2s^3 - s^2 - 1 = - t^2 \quad \cdots (4)$$

(3) より $t = \frac{3s^2 + 2s - 1}{2}$ を得て、これを (4) に代入する。

$$- 2s^3 - s^2 - 1 = - \left( \frac{3s^2 + 2s - 1}{2} \right)^2$$

$$8s^3 + 4s^2 + 4 = 9s^4 + 12s^3 - 2s^2 - 4s + 1$$

$$9s^4 + 4s^3 - 6s^2 - 4s - 3 = 0$$

左辺を因数定理を用いて因数分解していく。$s=1$ を代入すると成り立つので $(s-1)$ を因数にもち、さらに残りの因数に $s=-1$ を代入すると成り立つので $(s+1)$ を因数にもつ。

$$(s - 1)(9s^3 + 13s^2 + 7s + 3) = 0$$

$$(s - 1)(s + 1)(9s^2 + 4s + 3) = 0$$

ここで、第3因数について $9s^2 + 4s + 3 = 9\left(s + \frac{2}{9}\right)^2 + \frac{23}{9} > 0$ であるため、$9s^2 + 4s + 3 = 0$ を満たす実数 $s$ は存在しない。 したがって、実数 $s$ は以下の2つである。

$$s = 1, -1$$

(i) $s = 1$ のとき 式 (1) に代入して、求める接線の方程式は

$$y = 4x - 4$$

(ii) $s = -1$ のとき 式 (1) に代入して、求める接線の方程式は

$$y = 0$$

解説

共通接線を求める典型的な問題である。2つの曲線が与えられた場合、それぞれの曲線上における接点の $x$ 座標を別々の文字で置き、接線の方程式を立ててから傾きと切片を比較する方法が基本となる。得られた4次方程式は、因数定理を繰り返し用いることで解を見つけることができる。

答え

$$y = 4x - 4, \quad y = 0$$