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京都大学 2025年文系第4問解説

方針・初手

(1) は共通接線の問題である。曲線 $C_1$ は絶対値を含むため、$x > 0, x < 0$ で場合分けして接線の方程式を立てる。その接線が $C_2$ にも接する条件（判別式 $D=0$）を考え、原点以外の接点がただ1つ定まることを示す。

(2) は面積を求める問題である。(1) で求めた接線 $l_2$、曲線 $C_1$、および直線 $l_1 : x = \frac{3}{2}$ の位置関係を把握し、定積分を計算する。絶対値の符号が変わる $x=0$ をまたぐかどうかに注意して積分区間を決定する。

解法1

(1)

$C_1: y = x^2 - 2|x|$、$C_2: y = x^2 - 5x + \frac{7}{4}$

$C_1$ 上の点 $(t, t^2 - 2|t|)$ における接線を考える。接点は原点と異なるので $t \neq 0$ である。

(i) $t > 0$ のとき

$x > 0$ において $y = x^2 - 2x$ であり、$y' = 2x - 2$。

接線の方程式は $y - (t^2 - 2t) = (2t - 2)(x - t)$、整理すると

$$ y = (2t - 2)x - t^2 \quad \cdots ① $$

これが $C_2$ と接する条件は、$x^2 - 5x + \frac{7}{4} = (2t - 2)x - t^2$ すなわち

$$ x^2 - (2t + 3)x + t^2 + \frac{7}{4} = 0 $$

が重解をもつことである。判別式を $D_1$ とすると

$$ D_1 = (2t + 3)^2 - 4\left(t^2 + \frac{7}{4}\right) = 4t^2 + 12t + 9 - 4t^2 - 7 = 12t + 2 = 0 $$

$$ t = -\frac{1}{6} $$

これは $t > 0$ に反するので不適。

(ii) $t < 0$ のとき

$x < 0$ において $y = x^2 + 2x$ であり、$y' = 2x + 2$。

接線の方程式は $y - (t^2 + 2t) = (2t + 2)(x - t)$、整理すると

$$ y = (2t + 2)x - t^2 \quad \cdots ② $$

これが $C_2$ と接する条件は、$x^2 - 5x + \frac{7}{4} = (2t + 2)x - t^2$ すなわち

$$ x^2 - (2t + 7)x + t^2 + \frac{7}{4} = 0 $$

が重解をもつことである。判別式を $D_2$ とすると

$$ D_2 = (2t + 7)^2 - 4\left(t^2 + \frac{7}{4}\right) = 4t^2 + 28t + 49 - 4t^2 - 7 = 28t + 42 = 0 $$

$$ t = -\frac{3}{2} $$

これは $t < 0$ を満たす。

以上より、原点と異なる接点をもつ共通接線 $l_2$ はただ一つ存在し、その接点の $x$ 座標は $t = -\frac{3}{2}$ である。

(2)

(1) より、$l_2$ は $t = -\frac{3}{2}$ のときの接線②である。

$$ l_2 : y = \left(2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 2\right)x - \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = -x - \frac{9}{4} $$

$C_1$ と $l_2$ の接点 $P$ の $x$ 座標は $a = -\frac{3}{2}$ である。

直線 $l_1 : x = \frac{3}{2}$ と $l_2$ の交点 $Q$、直線 $l_1$ と $C_1$ の交点 $R$ の各座標は、

$$ Q\left(\frac{3}{2},\ -4\right), \quad R\left(\frac{3}{2},\ -\frac{3}{4}\right) $$

である。（$x=\frac{3}{2}$ のとき $C_1$ は $y = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4}$）

求める面積 $S$ は、曲線 $C_1$、接線 $l_2$（線分 $PQ$）、直線 $l_1$（線分 $QR$）で囲まれる図形の面積である。

区間 $-\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ において $C_1$ は下に凸であり、接線 $l_2$ は接点 $P$ 以外では $C_1$ より下側にあるため、（$C_1$ の式）$-$（$l_2$ の式）$\ge 0$ である。$C_1$ は $x=0$ で式が変わるため、積分区間を分割する。

$$\begin{aligned} S &= \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} \left( C_1 - l_2 \right) dx \\ &= \int_{-\frac{3}{2}}^{0} \left\{ (x^2 + 2x) - \left(-x - \frac{9}{4}\right) \right\} dx + \int_{0}^{\frac{3}{2}} \left\{ (x^2 - 2x) - \left(-x - \frac{9}{4}\right) \right\} dx \\ &= \int_{-\frac{3}{2}}^{0} \left( x^2 + 3x + \frac{9}{4} \right) dx + \int_{0}^{\frac{3}{2}} \left( x^2 - x + \frac{9}{4} \right) dx \\ &= \int_{-\frac{3}{2}}^{0} \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 dx + \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{9}{4}x \right]_{0}^{\frac{3}{2}} \\ &= \left[ \frac{1}{3} \left( x + \frac{3}{2} \right)^3 \right]_{-\frac{3}{2}}^{0} + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} \right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} + \left( \frac{9}{8} - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} \right) \\ &= \frac{9}{8} + \frac{27}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \end{aligned}$$

解説

(1) は共通接線の求め方の基本に従います。一方の曲線（ここでは $C_1$）上の点における接線の方程式を立て、それがもう一方の曲線（$C_2$）と接するという条件（判別式 $D=0$）を処理します。絶対値の処理として、$x$ 座標の正負で場合分けを行う必要があります。

(2) は図形の面積を求める問題です。(1) で求めた接点 $a=-\frac{3}{2}$ から積分区間が $-\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ となりますが、途中の $x=0$ で $C_1$ の表す式が $y=x^2+2x$ から $y=x^2-2x$ に変わるため、積分を2つに分けて計算します。$x < 0$ の部分は接線との差が $(x+\frac{3}{2})^2$ となることを利用すると、計算ミスを防ぎやすくなります。