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北海道大学 1978年文系第5問解説

方針・初手

条件から文字の並びのパターンを決定する。母音字が続くこと、子音字が続くことがともに禁止されているため、母音字と子音字は必ず交互に並ぶ。さらに末尾が母音字であるという条件から、文字数が偶数か奇数かによって並び方が完全に決まる。また、(2)の「相異なる5文字」という表現から、(1)や(3)では同じ文字を重複して使ってもよいことに注意して数え上げる。

解法1

母音字を $V$、子音字を $C$ と表す。

条件(ハ)、(ニ)より、$V$ と $C$ は交互に並ばなければならない。さらに条件(ロ)より、単語の末尾は必ず $V$ である。

したがって、単語の文字数によって、文字の配列パターンは以下のように定まる。

(i) 文字数が偶数 $2m$ の場合配列は $CVCV \cdots CV$ となり、$C$ と $V$ はそれぞれ $m$ 個ずつ現れる。

(ii) 文字数が奇数 $2m-1$ の場合配列は $VCVC \cdots CV$ となり、$V$ は $m$ 個、$C$ は $m-1$ 個現れる。

問題文で母音字は3個、子音字は4個用意されている。(2)以外では同じ文字を複数回用いてもよい（重複を許す）。

(1)

4文字からなる単語を考える。文字数が偶数 ($m=2$) なので、配列パターンは $CVCV$ である。

$C$ が入る2箇所にはそれぞれ4通りの子音字の選び方があり、$V$ が入る2箇所にはそれぞれ3通りの母音字の選び方がある。

求める単語の個数は、

$$ 4 \times 3 \times 4 \times 3 = 144 \text{ (個)} $$

(2)

相異なる5文字からなる単語を考える。文字数が奇数 ($m=3$) なので、配列パターンは $VCVCV$ である。

「相異なる」という条件があるため、同じ文字を重複して用いることはできない。

$V$ が入る3箇所に、3個の母音字を重複なく並べる方法は ${}_3\mathrm{P}_3$ 通りである。

$C$ が入る2箇所に、4個の子音字から2個を選んで並べる方法は ${}_4\mathrm{P}_2$ 通りである。

求める単語の個数は、これらを掛け合わせて、

$$ {}_3\mathrm{P}_3 \times {}_4\mathrm{P}_2 = (3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3) = 6 \times 12 = 72 \text{ (個)} $$

(3)

文字数 $k$ ($1 \leqq k \leqq 8$) の単語の個数を $a_k$ とする。

(ア) $k$ が偶数 $2m$ ($m=1, 2, 3, 4$) の場合配列は $CVCV \cdots CV$ であり、$C$ が $m$ 個、$V$ が $m$ 個であるから、

$$ a_{2m} = 4^m \times 3^m = 12^m $$

(イ) $k$ が奇数 $2m-1$ ($m=1, 2, 3, 4$) の場合配列は $VCVC \cdots CV$ であり、$C$ が $m-1$ 個、$V$ が $m$ 個であるから、

$$ a_{2m-1} = 3^m \times 4^{m-1} = 3 \times 12^{m-1} $$

条件を満たす単語の総数は $\sum_{k=1}^8 a_k$ であり、奇数文字の単語の総数と偶数文字の単語の総数の和として計算できる。

奇数文字の単語の総数は、

$$ \begin{aligned} \sum_{m=1}^4 a_{2m-1} &= 3 \times 12^0 + 3 \times 12^1 + 3 \times 12^2 + 3 \times 12^3 \\ &= 3 \times (1 + 12 + 144 + 1728) \\ &= 3 \times 1885 \\ &= 5655 \end{aligned} $$

偶数文字の単語の総数は、

$$ \begin{aligned} \sum_{m=1}^4 a_{2m} &= 12^1 + 12^2 + 12^3 + 12^4 \\ &= 12 \times (1 + 12 + 144 + 1728) \\ &= 12 \times 1885 \\ &= 22620 \end{aligned} $$

よって、この言語における単語の総数は、

$$ 5655 + 22620 = 28275 \text{ (個)} $$

解説

与えられた規則から文字列の構造を決定する、場合の数の典型的な問題である。「母音が連続しない」「子音が連続しない」という条件から文字が交互に並ぶことを見抜き、末尾の条件と合わせることで文字の配列が一意に定まることに気づくことが最大のポイントである。また、(2)のみ「相異なる」という条件がついていることから、(1)と(3)では同じ文字を繰り返し使ってよい（重複順列である）と読み取ることも重要である。