北海道大学 1978年 文系 第4問 解説

方針・初手

平面ベクトルの基本的な交点の決定と、位置ベクトルを用いた図形的性質の証明、面積比の計算を行う問題である。 (1)は、ベクトルの差への分解 $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{AY} - \overrightarrow{AX}$ を用いる。 (2)は、2通りに表された $\overrightarrow{AI}$ について、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が1次独立であることを根拠に係数を比較する定番の手法を用いる。 (3)は、(2)で求めた $\overrightarrow{AI}$ の式を変形して点 $P$ が辺 $BC$ を内分する比を求める。面積比は、$\triangle ABC$ の面積を基準とし、隣り合う2辺の長さの比から3つの頂点を含む小さな三角形の面積を求め、全体から引く方法が簡明である。

解法1

(1)

ベクトルの減法により、$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AB}$ である。 与えられた条件 $\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ を代入すると、

$$ \overrightarrow{BQ} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$

となる。同様に、$\overrightarrow{CR} = \overrightarrow{AR} - \overrightarrow{AC}$ であり、条件 $\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ を代入すると、

$$ \overrightarrow{CR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} $$

となる。

(2)

与えられた等式に(1)の結果を代入し、$\overrightarrow{AI}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて2通りに表す。 1つ目の等式より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AI} &= \overrightarrow{AB} + \lambda\overrightarrow{BQ} \\ &= \overrightarrow{AB} + \lambda\left(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right) \\ &= (1 - \lambda)\overrightarrow{AB} + \frac{\lambda}{2}\overrightarrow{AC} \quad \cdots \text{①} \end{aligned} $$

2つ目の等式より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AI} &= \overrightarrow{AC} + \mu\overrightarrow{CR} \\ &= \overrightarrow{AC} + \mu\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right) \\ &= \frac{\mu}{3}\overrightarrow{AB} + (1 - \mu)\overrightarrow{AC} \quad \cdots \text{②} \end{aligned} $$

3角形 $ABC$ において、$\overrightarrow{AB} \neq \vec{0}$, $\overrightarrow{AC} \neq \vec{0}$ であり、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は互いに平行ではない（1次独立である）。 したがって、①と②における $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の係数はそれぞれ等しいので、

$$ \begin{cases} 1 - \lambda = \frac{\mu}{3} \\ \frac{\lambda}{2} = 1 - \mu \end{cases} $$

が成り立つ。第2式より $\lambda = 2 - 2\mu$ となる。これを第1式に代入して、

$$ 1 - (2 - 2\mu) = \frac{\mu}{3} $$

$$ -1 + 2\mu = \frac{\mu}{3} $$

$$ \frac{5}{3}\mu = 1 $$

$$ \mu = \frac{3}{5} $$

これを用いて $\lambda$ を求めると、

$$ \lambda = 2 - 2 \cdot \frac{3}{5} = 2 - \frac{6}{5} = \frac{4}{5} $$

よって、求める値は $\lambda = \frac{4}{5}, \mu = \frac{3}{5}$ である。

(3)

(2)で求めた値を①（または②）に代入して $\overrightarrow{AI}$ を表すと、

$$ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} $$

となる。右辺を変形すると、

$$ \overrightarrow{AI} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{3} $$

となる。ここで、辺 $BC$ を $2 : 1$ に内分する点を $P'$ とすると、位置ベクトルの公式より

$$ \overrightarrow{AP'} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{AB} + 2 \cdot \overrightarrow{AC}}{2 + 1} = \frac{\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{3} $$

であるから、

$$ \overrightarrow{AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AP'} $$

と表せる。これは点 $I$ が線分 $AP'$ を $3 : 2$ に内分する点であり、3点 $A, I, P'$ が同一直線上にあることを示している。 点 $P$ は線分 $AI$ の延長と辺 $BC$ との交点であるから、点 $P'$ は点 $P$ と一致する。 すなわち、点 $P$ は辺 $BC$ を $2 : 1$ に内分する点であるから、ベクトルの向きと長さを考慮して

$$ \overrightarrow{BP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $$

が成り立つ。

次に、$\triangle PQR$ と $\triangle ABC$ の面積の比を求める。 $\triangle ABC$ の面積を $S$ とおく。 条件 $\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ より、線分の長さの比は $AQ : AC = 1 : 2$, $AR : AB = 1 : 3$ であるから、

$$ \triangle AQR = \frac{AQ}{AC} \cdot \frac{AR}{AB} \cdot S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} S = \frac{1}{6} S $$

点 $P$ は辺 $BC$ を $2 : 1$ に内分するので $BP : BC = 2 : 3$, $CP : CB = 1 : 3$ である。 また、$BR = AB - AR = \frac{2}{3}AB$ より $BR : BA = 2 : 3$ であるから、

$$ \triangle BRP = \frac{BR}{BA} \cdot \frac{BP}{BC} \cdot S = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} S = \frac{4}{9} S $$

さらに、$CQ = AC - AQ = \frac{1}{2}AC$ より $CQ : CA = 1 : 2$ であるから、

$$ \triangle CQP = \frac{CQ}{CA} \cdot \frac{CP}{CB} \cdot S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} S = \frac{1}{6} S $$

$\triangle PQR$ の面積は、$\triangle ABC$ からこれら3つの三角形の面積を引いたものであるから、

$$ \begin{aligned} \triangle PQR &= S - (\triangle AQR + \triangle BRP + \triangle CQP) \\ &= S - \left(\frac{1}{6}S + \frac{4}{9}S + \frac{1}{6}S\right) \\ &= S - \frac{3+8+3}{18}S \\ &= S - \frac{14}{18}S \\ &= \frac{2}{9}S \end{aligned} $$

したがって、$\triangle PQR$ と $\triangle ABC$ の面積の比は、

$$ \triangle PQR : \triangle ABC = \frac{2}{9}S : S = 2 : 9 $$

となる。

解説

平面ベクトルの分野における非常に標準的かつ重要なテーマを網羅した問題である。 (2)の交点の位置ベクトルを求める過程は、係数比較を用いる最も基本的な解法である。また、チェバの定理を用いると $\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$ より $\frac{1}{2} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot 1 = 1$ となり、$BP : PC = 2 : 1$ であることが図形的に即座に分かり、(3)の前半の事実を検算することができる。 (3)の面積比の計算では、頂点を共有する三角形の面積比を「挟む2辺の長さの比の積」で求める手法が非常に有効である。全体から周りを引くという発想は、ベクトルや座標幾何において多用されるため確実にマスターしておきたい。

答え

(1) $\overrightarrow{BQ} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{CR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

(2) $\lambda = \frac{4}{5}, \mu = \frac{3}{5}$

(3) $\overrightarrow{BP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ は本文に示した。 面積の比は $2 : 9$