京都大学 2013年 文系 第1問 解説

方針・初手

• $f(f(x)) > 0$ に対し $f(x) = y$ と置き換え、「$f(x)$ の値域に属するすべての $y$ に対して $f(y) > 0$」という条件へ帰着させる。
• $f(x)$ を平方完成して値域（最小値）を $a$ で表し、$f(y) > 0$ となる $y$ の範囲と比較する。

解法1

$f(x) = (x+a)(x+2) = x^2 + (a+2)x + 2a$ を平方完成すると、

$$ f(x) = \left(x + \frac{a+2}{2}\right)^2 - \frac{(a+2)^2-8a}{4} = \left(x + \frac{a+2}{2}\right)^2 - \frac{(a-2)^2}{4} $$

よって $f(x)$ の最小値は $-\dfrac{(a-2)^2}{4}$ であり、$f(x)$ の値域は

$$ f(x) \geqq -\frac{(a-2)^2}{4} $$

$f(x) = y$ とおくと、問題の条件は「$y \geqq -\dfrac{(a-2)^2}{4}$ を満たすすべての $y$ に対して $f(y) > 0$」と言い換えられる。

$f(y) = (y+a)(y+2) > 0$ の解は、$-a \leqq -2$（$a \geqq 2$ による）であるから、

$$ y < -a \quad \text{または} \quad y > -2 $$

値域 $\left[-\dfrac{(a-2)^2}{4}, +\infty\right)$ は右に無限に広がるため、$y < -a$ の部分にはすべて収まらない。したがって、この値域が $y > -2$ の範囲に含まれることが必要十分条件となる。

$$ -\frac{(a-2)^2}{4} > -2 $$

整理すると、

$$ (a-2)^2 < 8 \implies -2\sqrt{2} < a-2 < 2\sqrt{2} \implies 2-2\sqrt{2} < a < 2+2\sqrt{2} $$

前提条件 $a \geqq 2$ と合わせると、

$$ 2 \leqq a < 2+2\sqrt{2} $$

解説

合成関数の絶対不等式を、置き換えによって「2次関数の値域 $\subseteq$ $f(y)>0$ の領域」という包含関係の問題に整理するのが鍵である。

条件 $a \geqq 2$ により $-a \leqq -2$ が保証されるため、$f(y) \leqq 0$ の区間は $[-a, -2]$ となる。値域（下半無限でない区間 $[m, +\infty)$）がこの区間と交わらないためには、左端点 $m = -\dfrac{(a-2)^2}{4}$ が $-2$ より大きければよい、という論理構造である。

なぜ $y < -a$ の側を使わないかは、値域が $+\infty$ に向かって広がる形であることから自明であり、この点を答案で簡潔に説明できると論証として完結する。

答え

$$ 2 \leqq a < 2+2\sqrt{2} $$