京都大学 2025年 文系 第2問 解説

方針・初手

$f(x)$ は実数係数の2次式であるから、$f(x) = px^2 + qx + r$ ($p, q, r$ は実数、$p \neq 0$) とおくことができる。 条件 $(*)$ の等式にこの $f(x)$ を代入し、$f(f(x))$ を展開して両辺の係数を比較する。$c$ は「ある実数」として右辺の定数項の調整に使われるため、実質的に $x^4, x^3, x^2, x$ の係数比較によって $a, b$ の条件を導くことができる。

解法1

$f(x) = px^2 + qx + r$ （$p, q, r$ は実数、$p \neq 0$）とおく。 このとき、

$$ \begin{aligned} f(f(x)) &= p(px^2 + qx + r)^2 + q(px^2 + qx + r) + r \\ &= p(p^2 x^4 + q^2 x^2 + r^2 + 2pq x^3 + 2qr x + 2pr x^2) + pq x^2 + q^2 x + qr + r \\ &= p^3 x^4 + 2p^2q x^3 + p(q^2 + 2pr) x^2 + pq x^2 + 2pqr x + q^2 x + pr^2 + qr + r \\ &= p^3 x^4 + 2p^2q x^3 + (pq^2 + 2p^2r + pq) x^2 + (2pqr + q^2) x + (pr^2 + qr + r) \end{aligned} $$

となる。 与えられた恒等式は $\frac{1}{8}x^4 + ax^3 + bx^2 = f(f(x)) + c$ であるから、右辺に上の展開式を代入し、両辺の各次数の係数を比較すると以下の連立方程式が得られる。

$$ \begin{cases} \frac{1}{8} = p^3 & \cdots ① \\ a = 2p^2q & \cdots ② \\ b = pq^2 + 2p^2r + pq & \cdots ③ \\ 0 = 2pqr + q^2 & \cdots ④ \\ 0 = pr^2 + qr + r + c & \cdots ⑤ \end{cases} $$

①より、$p$ は実数であるから

$$ p = \frac{1}{2} $$

である。これを②〜⑤に代入すると、

$$ q = 2a $$

$$ b = \frac{1}{2}q^2 + \frac{1}{2}r + \frac{1}{2}q $$

$$ q(r+q)=0 $$

$$ c = -\left(\frac{1}{2}r^2 + qr + r\right) $$

を得る。

⑤は、任意の実数 $q, r$ に対して実数 $c$ をただ一つ定める式であるから、$a, b$ の条件には影響を与えない。したがって、実質的な条件は

$$ q(r+q)=0 $$

であり、これから場合分けを行う。

[場合1] $q = 0$ のとき

$q = 2a$ より $a = 0$ である。 このとき、③は $b = \frac{1}{2}r$ となる。 $f(x)$ の係数 $r$ は任意の実数をとれるので、$b$ も任意の実数値をとりうる。 よって、点 $(a, b)$ は直線 $a = 0$ （$b$軸）上のすべての点を表す。

[場合2] $r = -q$ のとき

$q = 2a$ より、$r = -2a$ である。 これを③に代入すると、

$$ b = \frac{1}{2}q^2 + \frac{1}{2}(-q) + \frac{1}{2}q = \frac{1}{2}q^2 $$

となる。さらに $q = 2a$ を代入して、

$$ b = \frac{1}{2}(2a)^2 = 2a^2 $$

を得る。 このとき、任意の $a$ に対して $q = 2a, r = -2a$ となる実数 $q, r$ が存在し、条件を満たす実数 $c$ も⑤によって存在する。 よって、点 $(a, b)$ は放物線 $b = 2a^2$ 上のすべての点を表す。

以上より、求める点 $(a, b)$ 全体の集合は、直線 $a = 0$ および放物線 $b = 2a^2$ である。

解説

「ある関数 $f(x)$ が存在する」という条件から軌跡を求める問題である。

$f(x)$ を $px^2+qx+r$ とおいて $f(f(x))$ を計算し、恒等式の性質から係数比較に持ち込むのが確実である。

定数項については「ある実数 $c$ に対して」という条件がついているので、$c$ は最後に調整できる。したがって、実質的な制約は $x^4, x^3, x^2, x$ の係数比較から得られる。

最後は

$$ q(r+q)=0 $$

から場合分けし、それぞれで $a,b$ がどの図形を動くかを確認すればよい。

答え

点 $(a, b)$ 全体の集合は、

$$ a = 0 $$

および

$$ b = 2a^2 $$

で表される図形、すなわち 直線 $a = 0$ （$b$ 軸）と 放物線 $b = 2a^2$ の和集合である。