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名古屋大学 2016年文系第3問解説

方針・初手

約数の和を求める基本的な公式を用いる。自然数 $N$ が $N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ と素因数分解されるとき、その正の約数の和 $s(N)$ は、各素因数について等比数列の和の形をとった積、すなわち $s(N) = (1+p_1+\cdots+p_1^{a_1})(1+p_2+\cdots+p_2^{a_2})\cdots(1+p_k+\cdots+p_k^{a_k})$ となる。この性質を用いて順次計算および方程式の解析を行う。

解法1

(1)

$2$ と素数 $p \ (\ge 3)$ は互いに素であるから、$2^k p$ の正の約数の和 $s(2^k p)$ は次のように計算できる。

$$ s(2^k p) = (1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^k)(1 + p) $$

初項 $1$、公比 $2$ の等比数列の和の公式を用いて整理する。

$$ s(2^k p) = \frac{1 \cdot (2^{k+1} - 1)}{2 - 1}(p + 1) = (2^{k+1} - 1)(p + 1) $$

(2)

まず、$2016$ を素因数分解する。

$$ 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 $$

これより、正の約数の和 $s(2016)$ を求める。

$$ s(2016) = s(2^5 \cdot 3^2 \cdot 7) = (1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+3+3^2)(1+7) $$

$$ s(2016) = \frac{2^6-1}{2-1} \cdot 13 \cdot 8 = 63 \cdot 13 \cdot 8 $$

$$ s(2016) = 63 \cdot 104 = 6552 $$

(3)

$n$ は $2016$ の正の約数であるから、整数 $a, b, c$ を用いて次のように表せる。

$$ n = 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c \quad (0 \le a \le 5,\ 0 \le b \le 2,\ 0 \le c \le 1) $$

このとき、$n$ の正の約数の和 $s(n)$ は以下のようになる。

$$ s(n) = (2^{a+1} - 1) \cdot s(3^b) \cdot s(7^c) $$

これが $2016$ に等しくなる条件を考える。

$$ (2^{a+1} - 1) \cdot s(3^b) \cdot s(7^c) = 2016 $$

ここで、$s(3^b)$ と $s(7^c)$ のとり得る値を調べる。

$0 \le b \le 2$ より、 $b=0$ のとき $s(3^0) = 1$ $b=1$ のとき $s(3^1) = 1+3 = 4$ $b=2$ のとき $s(3^2) = 1+3+9 = 13$

$0 \le c \le 1$ より、 $c=0$ のとき $s(7^0) = 1$ $c=1$ のとき $s(7^1) = 1+7 = 8$

$2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ の素因数に $13$ は含まれないため、$s(n) = 2016$ の両辺を比較すると $s(3^b)$ は $2016$ の約数でなければならない。よって $s(3^2) = 13$ となる $b=2$ は不適である。したがって、$b$ は $0$ または $1$ に限られ、$s(3^b)$ は $1$ または $4$ となる。

$s(3^b) \cdot s(7^c)$ の組合せとして考えられるものを場合分けする。

(i) $b=0, c=0$ のとき

$s(3^0) \cdot s(7^0) = 1 \cdot 1 = 1$ 方程式は $2^{a+1} - 1 = 2016$ すなわち $2^{a+1} = 2017$ となるが、これを満たす整数 $a$ は存在しない。

(ii) $b=0, c=1$ のとき

$s(3^0) \cdot s(7^1) = 1 \cdot 8 = 8$ 方程式は $(2^{a+1} - 1) \cdot 8 = 2016$ となり、$2^{a+1} - 1 = 252$ すなわち $2^{a+1} = 253$ となるが、これを満たす整数 $a$ は存在しない。

(iii) $b=1, c=0$ のとき

$s(3^1) \cdot s(7^0) = 4 \cdot 1 = 4$ 方程式は $(2^{a+1} - 1) \cdot 4 = 2016$ となり、$2^{a+1} - 1 = 504$ すなわち $2^{a+1} = 505$ となるが、これを満たす整数 $a$ は存在しない。

(iv) $b=1, c=1$ のとき

$s(3^1) \cdot s(7^1) = 4 \cdot 8 = 32$ 方程式は $(2^{a+1} - 1) \cdot 32 = 2016$ となり、$2^{a+1} - 1 = 63$ すなわち $2^{a+1} = 64$ となる。 $64 = 2^6$ であるから、$a+1 = 6$ より $a=5$ となる。これは条件の $0 \le a \le 5$ を満たす。

以上より、条件を満たすのは $a=5, b=1, c=1$ のときのみである。求める $n$ は、

$$ n = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 32 \cdot 3 \cdot 7 = 672 $$

解説

正の約数の和に関する標準的な問題である。(1)、(2)で公式を用いた計算の確認を行い、(3)でそれを応用した方程式を解かせる構成となっている。 (3)では、$n$ が $2016$ の約数であるという条件から、$n$ の素因数が $2, 3, 7$ のみに限られることを見抜くのが第一歩である。その後、各素因数の指数を文字でおき、約数の和の式を各素因数ごとのブロックの積に分解して考える。方程式を満たすための必要条件として、素因数 $3$ に由来するブロック $s(3^b)$ の値が $2016$ の約数でなければならないことに気づけば、検証すべき候補を大きく絞り込むことができる。