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大阪大学 2024年文系第3問解説

方針・初手

(1) は素数を小さい順に書き出して15番目を特定する。

(2) は $n \geqq 12$ における自然数に関する命題なので、数学的帰納法の利用が第一感となる。帰納法を用いる場合は、$p_k$ と $3k$ の偶奇に着目して $p_{k+1}$ を評価する。

また、素数の個数分布に着目し、「$3n$ 以下の素数の個数が $n-1$ 個以下である」ことを示す方針でも鮮やかに解ける。

解法1

(1) 素数を小さい順に書き出すと、以下のようになる。

$$ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, \cdots $$

よって、$p_{15} = 47$ である。

(2) 数学的帰納法を用いて示す。

(I)

$n = 12$ のとき

(1) の列挙より $p_{12} = 37$ であり、$3n = 3 \times 12 = 36$ である。

$37 > 36$ より、$p_{12} > 3 \times 12$ となり、成り立つ。

(II)

$n = k$（$k$ は12以上の整数）のとき

$p_k > 3k$ が成り立つと仮定する。この仮定のもとで、$p_{k+1} > 3(k+1)$ を示す。

$k \geqq 12$ より、$p_k \geqq p_{12} = 37$ である。2以外の素数はすべて奇数であるから、$p_k$ と $p_{k+1}$ はともに奇数である。

また、$p_k < p_{k+1}$ より、$p_{k+1} \geqq p_k + 2$ が成り立つ。

ここで、$k$ の偶奇によって場合分けを行う。

(i)

$k$ が偶数のとき

$3k$ は偶数である。仮定 $p_k > 3k$ において、$p_k$ は奇数であるから、

$$ p_k \geqq 3k + 1 $$

が成り立つ。これより、次のように評価できる。

$$ p_{k+1} \geqq p_k + 2 \geqq (3k + 1) + 2 = 3k + 3 = 3(k+1) $$

ここで、もし $p_{k+1} = 3(k+1)$ だとすると、$p_{k+1}$ は3の倍数となる。

しかし、$k \geqq 12$ より $3(k+1) \geqq 39 > 3$ であるから、$p_{k+1}$ は合成数となり、素数であることに矛盾する。

したがって、$p_{k+1} \neq 3(k+1)$ であり、

$$ p_{k+1} > 3(k+1) $$

が成り立つ。

(ii)

$k$ が奇数のとき

$3k$ は奇数である。仮定 $p_k > 3k$ において、$p_k$ も奇数であるから、$p_k$ と $3k$ の差は偶数となり、

$$ p_k \geqq 3k + 2 $$

が成り立つ。これより、次のように評価できる。

$$ p_{k+1} \geqq p_k + 2 \geqq (3k + 2) + 2 = 3k + 4 > 3k + 3 = 3(k+1) $$

よって、

$$ p_{k+1} > 3(k+1) $$

が成り立つ。

（i）, （ii）より、いずれの場合も $n = k+1$ のときも不等式が成り立つ。

（I）, （II）より、12以上のすべての整数 $n$ について、$p_n > 3n$ が成り立つ。（証明終）

解法2

(1) は解法1に同じ。

(2)

$n$ を12以上の整数とする。

「$p_n > 3n$」であることを示すためには、「$3n$ 以下の素数の個数が $n-1$ 個以下である」ことを示せばよい。

1 から $3n$ までの $3n$ 個の自然数を、次のように3つずつの組に分ける。

$$ \{1, 2, 3\}, \{4, 5, 6\}, \cdots, \{3j-2, 3j-1, 3j\}, \cdots, \{3n-2, 3n-1, 3n\} $$

（$j$ は $1 \leqq j \leqq n$ の整数）

各組 $\{3j-2, 3j-1, 3j\}$ において、性質を調べる。

$3j$ は3の倍数である。
$3j-2$ と $3j-1$ は連続する整数であるため、一方は偶数（2の倍数）、もう一方は奇数である。

したがって、各組の中には「2の倍数でも3の倍数でもない数」がちょうど1つ存在する。

組は全部で $n$ 個あるので、1 から $3n$ までの整数のうち、2の倍数でも3の倍数でもない数はちょうど $n$ 個ある。これらを小さい順に $a_1, a_2, \cdots, a_n$ とする。

$a_1 = 1$ であり、1 は素数ではない。

$n \geqq 12$ のとき $3n \geqq 36$ である。

2でも3でも割り切れない合成数として、$5 \times 5 = 25$ と $5 \times 7 = 35$ が存在する。これらは36以下であるから $a_2, \cdots, a_n$ の中に含まれる。

したがって、$a_2, \cdots, a_n$ の $n-1$ 個の数のうち、素数であるものは多くとも次のように評価できる。

$$ (n - 1) - 2 = n - 3 \text{（個）} $$

$3n$ 以下の素数は、2 と 3、および $a_2, \cdots, a_n$ の中に含まれる素数のみであるから、$3n$ 以下の素数の総数は多くとも次のように評価できる。

$$ 2 + (n - 3) = n - 1 \text{（個）} $$

$3n$ 以下の素数が $n-1$ 個以下しか存在しないため、$n$ 番目の素数 $p_n$ は $3n$ より大きくなければならない。

すなわち、$n \geqq 12$ のとき $p_n > 3n$ が成り立つ。（証明終）

解説

(1) は、(2) で $n=12$ のベースケースを調べるための誘導であり、同時に数列の規則性を具体的に確認する役割を持つ。

(2) は、不等式の証明であるから数学的帰納法が有効である。帰納法を用いる場合は、素数の差が2以上であること（$p_{k+1} \geqq p_k + 2$）と、整数の偶奇に着目して不等式を厳密に「絞る」論理的思考力が問われる。素数という離散的な数を扱う上で、このような細かな場合分けは非常に重要である。

一方、解法2のように「ある値以下の素数の個数」に着目する手法は、「エラトステネスの篩（ふるい）」の考え方を背景としている。このアプローチに気づくことができれば、帰納法に比べて場合分けの負担が減り、見通しよく記述できる。