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東京大学 2023年文系第4問解説

方針・初手

与えられた辺の長さの条件と角度の条件から、三角形の形状を決定する。$\triangle ABC$ と $\triangle ABD$ は合同な二等辺三角形になるため、まずは余弦定理を用いて辺の長さを求める。 (1) は基本的な図形の計量である。 (2) は四面体の体積を求める問題であり、球面に内接するという条件をどう処理するかが鍵となる。対称性に注目して幾何的に解く方法と、球の中心を始点とする空間ベクトルを用いて機械的に計算する方法がある。

解法1

(1)

$\triangle ABC$ において、$AC = BC = x$ とおく。余弦定理より、

$$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cos\angle ACB $$

が成り立つ。$AB=1$、$\cos\angle ACB = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$$ 1 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cdot \frac{4}{5} $$

$$ 1 = \frac{2}{5}x^2 $$

$$ x^2 = \frac{5}{2} $$

$x > 0$ より $AC = BC = \sqrt{\frac{5}{2}}$ である。また、$\sin\angle ACB > 0$ より、

$$ \sin\angle ACB = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5} $$

したがって、$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \sin\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{4} $$

(2)

$\triangle ABD$ においても $AB=1$、$AD=BD$、$\cos\angle ADB = \frac{4}{5}$ であるため、(1) と同様にして $AD=BD=\sqrt{\frac{5}{2}}$ となる。辺 $AB$ の中点を $M$ とする。 $\triangle ABC$ と $\triangle ABD$ は二等辺三角形なので、$CM \perp AB$、$DM \perp AB$ である。直角三角形 $\triangle AMC$ において三平方の定理より、

$$ CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{\frac{5}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} $$

同様に、$DM = \frac{3}{2}$ である。 $AB \perp CM$ かつ $AB \perp DM$ であるから、直線 $AB$ は平面 $MCD$ と垂直である。したがって、四面体 $ABCD$ は平面 $MCD$ によって2つの四面体 $A-MCD$ と $B-MCD$ に分割でき、その体積 $V$ は底面を $\triangle MCD$ とみると次のように計算できる。

$$ V = \frac{1}{3} S_{\triangle MCD} \cdot AM + \frac{1}{3} S_{\triangle MCD} \cdot BM = \frac{1}{3} S_{\triangle MCD} (AM+BM) = \frac{1}{3} S_{\triangle MCD} \cdot AB = \frac{1}{3} S_{\triangle MCD} $$

球の中心を $O$ とすると、$OA=OB=OC=OD=1$ である。 $\triangle OAB$ は $OA=OB$ の二等辺三角形であり、$M$ は $AB$ の中点なので、$OM \perp AB$ となる。直線 $AB$ は平面 $MCD$ と垂直であり、$OM \perp AB$、$C, D \in 平面 MCD$ であるから、点 $O$ は平面 $MCD$ 上にある。直角三角形 $\triangle OAM$ において、

$$ OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

平面 $MCD$ 上にある $\triangle MOC$ と $\triangle MOD$ に着目する。 $MC=MD=\frac{3}{2}$、$OC=OD=1$ であり、$OM$ は共通であるから $\triangle MOC \equiv \triangle MOD$ となる。よって $\angle OMC = \angle OMD$ である。点 $C, D$ は相異なる点なので、直線 $OM$ に関して対称な位置にある。ゆえに $CD \perp OM$ であり、直線 $CD$ と直線 $OM$ の交点を $H$ とすると、$H$ は線分 $CD$ の中点である。 $\triangle MOC$ において余弦定理より、

$$ \cos\angle OMC = \frac{OM^2 + MC^2 - OC^2}{2 \cdot OM \cdot MC} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} - 1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{3}} $$

直角三角形 $\triangle MHC$ において、

$$ MH = MC \cos\angle OMC = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} $$

$$ CH = \sqrt{MC^2 - MH^2} = \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} $$

$CD = 2CH = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ であるから、$\triangle MCD$ の面積 $S_{\triangle MCD}$ は、

$$ S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{3} $$

求める体積 $V$ は、

$$ V = \frac{1}{3} S_{\triangle MCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{\sqrt{11}}{9} $$

解法2

球の中心 $O$ を始点とする位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ とする。 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 1$ である。 $AB^2 = 1$ より、

$$ |\vec{b}-\vec{a}|^2 = 2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 1 \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{1}{2} $$

解法1と同様に $AC^2=BC^2=AD^2=BD^2=\frac{5}{2}$ であるから、

$$ |\vec{c}-\vec{a}|^2 = 2 - 2\vec{c}\cdot\vec{a} = \frac{5}{2} \iff \vec{c}\cdot\vec{a} = -\frac{1}{4} $$

同様にして $\vec{c}\cdot\vec{b} = \vec{d}\cdot\vec{a} = \vec{d}\cdot\vec{b} = -\frac{1}{4}$ を得る。線分 $AB$ の中点 $M$ の位置ベクトルを $\vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ とすると、

$$ |\vec{m}|^2 = \frac{|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2}{4} = \frac{1 + 1 + 1}{4} = \frac{3}{4} $$

$$ \vec{c}\cdot\vec{m} = \frac{\vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}\cdot\vec{b}}{2} = -\frac{1}{4} $$

ベクトル $\vec{c}$ を、$\vec{m}$ に平行な成分と垂直な成分に分解し、$\vec{c} = k\vec{m} + \vec{v}$ （ただし $\vec{v}\cdot\vec{a} = \vec{v}\cdot\vec{b} = 0$）とおく。

$$ \vec{c}\cdot\vec{m} = k|\vec{m}|^2 = \frac{3}{4}k = -\frac{1}{4} \implies k = -\frac{1}{3} $$

よって $\vec{c} = -\frac{1}{3}\vec{m} + \vec{v}$ であり、

$$ |\vec{c}|^2 = \frac{1}{9}|\vec{m}|^2 + |\vec{v}|^2 \implies 1 = \frac{1}{12} + |\vec{v}|^2 \implies |\vec{v}|^2 = \frac{11}{12} $$

同様に、$\vec{d} = -\frac{1}{3}\vec{m} + \vec{w}$ （ただし $\vec{w}\cdot\vec{a} = \vec{w}\cdot\vec{b} = 0$）、$|\vec{w}|^2 = \frac{11}{12}$ と表せる。 $\vec{v}$ と $\vec{w}$ はともに平面 $OAB$ に垂直なベクトルである。3次元空間においてある平面に垂直な方向は1次元であるため、$\vec{v}$ と $\vec{w}$ は平行である。 $|\vec{v}| = |\vec{w}|$ であり、点 $C$ と $D$ は相異なるので $\vec{v} \neq \vec{w}$ である。ゆえに $\vec{w} = -\vec{v}$ となる。これより、$\vec{c}$ と $\vec{d}$ は $\vec{m}$ を用いて完全に定まる。

$$ \vec{CM} = \vec{m} - \vec{c} = \frac{4}{3}\vec{m} - \vec{v} $$

$$ \vec{DM} = \vec{m} - \vec{d} = \frac{4}{3}\vec{m} + \vec{v} $$

ここで、$\vec{m}\cdot\vec{v}=0$ であることに注意して内積を計算すると、

$$ |\vec{CM}|^2 = \frac{16}{9}|\vec{m}|^2 + |\vec{v}|^2 = \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{4} + \frac{11}{12} = \frac{9}{4} $$

$$ |\vec{DM}|^2 = \frac{16}{9}|\vec{m}|^2 + |-\vec{v}|^2 = \frac{9}{4} $$

$$ \vec{CM}\cdot\vec{DM} = \left(\frac{4}{3}\vec{m} - \vec{v}\right)\cdot\left(\frac{4}{3}\vec{m} + \vec{v}\right) = \frac{16}{9}|\vec{m}|^2 - |\vec{v}|^2 = \frac{4}{3} - \frac{11}{12} = \frac{5}{12} $$

$\triangle MCD$ の面積 $S_{\triangle MCD}$ は、

$$ S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{CM}|^2 |\vec{DM}|^2 - (\vec{CM}\cdot\vec{DM})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{81}{16} - \frac{25}{144}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{704}{144}} = \frac{\sqrt{11}}{3} $$

四面体 $ABCD$ は直線 $AB$ に垂直な平面 $MCD$ によって分割されるため、その体積 $V$ は、

$$ V = \frac{1}{3} S_{\triangle MCD} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{11}}{9} $$