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名古屋大学 1961年文系第3問解説

方針・初手

回転体の体積 $V$ を三角形の3辺の長さ $x, y, z$ で表すことから始める。底辺を $PQ = z$ としたときの三角形 $PQR$ の高さを $h$ とすると、回転体は底面の半径が $h$ で高さの和が $z$ であるような円錐の組み合わせとして捉えることができる。三角形の面積 $S$ を用いて $h$ を表し、ヘロンの公式を利用して $V$ を定式化する。

解法1

三角形の周の長さを $x+y+z = 2s$ （ $s$ は正の定数）とおく。

頂点 $R$ から直線 $PQ$ に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、三角形 $PQR$ を辺 $PQ$ のまわりに1回転してできる立体は、底面の半径が $h$ 、高さの和（垂線の足が線分 $PQ$ の外にある場合は差）が $z$ である2つの円錐を組み合わせたものである。したがって、その体積 $V$ は

$$V = \frac{1}{3} \pi h^2 z$$

となる。

三角形 $PQR$ の面積を $S$ とすると、$S = \frac{1}{2}zh$ より $h = \frac{2S}{z}$ であるから、

$$V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{2S}{z} \right)^2 z = \frac{4\pi S^2}{3z}$$

となる。

ここで、ヘロンの公式より

$$S^2 = s(s-x)(s-y)(s-z)$$

であるから、

$$V = \frac{4\pi s}{3z} (s-x)(s-y)(s-z)$$

となる。

(1)

$x=y$ のとき、$2x+z = 2s$ より $x = s - \frac{z}{2}$ である。このとき、

$$s-x = s-y = \frac{z}{2}$$

となるから、

$$V = \frac{4\pi s}{3z} \left( \frac{z}{2} \right)^2 (s-z) = \frac{\pi s}{3} z(s-z)$$

となる。

$V$ は $z$ についての2次関数であり、平方完成すると

$$V = -\frac{\pi s}{3} \left( z - \frac{s}{2} \right)^2 + \frac{\pi s^3}{12}$$

となる。

三角形の成立条件 $x+y > z$ より $2x > z$ であり、$2s-z > z$ すなわち $0 < z < s$ である。 $z = \frac{s}{2}$ はこの範囲を満たすため、$V$ が最大となるのは $z = \frac{s}{2}$ のときである。このとき、$x = s - \frac{s}{4} = \frac{3s}{4}$ となるので、

$$x : z = \frac{3s}{4} : \frac{s}{2} = 3 : 2$$

である。

(2)

$z$ が一定のとき、$s$ も一定であるから、$V$ の値は $(s-x)(s-y)$ の値に比例する。 $x+y = 2s-z$ より、

$$(s-x) + (s-y) = 2s - (x+y) = z$$

であり、和 $(s-x) + (s-y)$ は一定である。

三角形の成立条件 $y+z > x$ より $x+y+z > 2x$ すなわち $2s > 2x$ から $s-x > 0$ である。同様に $s-y > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$\frac{(s-x)+(s-y)}{2} \geqq \sqrt{(s-x)(s-y)}$$

すなわち、

$$(s-x)(s-y) \leqq \left( \frac{z}{2} \right)^2$$

が成り立つ。

等号が成立するのは $s-x = s-y$、すなわち $x=y$ のときである。したがって、$z$ が一定のとき、$V$ が最大となるのは $x=y$ の場合である。

(3)

周の長さが一定であるすべての三角形を考える。 (2)より、$z$ の長さを任意に固定したとき、$V$ を最大にするのは $x=y$ の二等辺三角形である。したがって、$V$ がとりうる最大の値を求めるには、すべての三角形を調べる必要はなく、$x=y$ である二等辺三角形の集合の中に限定して探せば十分である。

(1)は、まさにその $x=y$ という条件を満たす三角形の中で、$z$ の長さを変化させたときの $V$ の最大値を求めたものである。よって、すべての三角形のなかで $V$ が最大となるのは、(1)で得た場合と一致する。

解説

回転体の体積を三角形の面積を利用して簡潔に表すこと、およびヘロンの公式を用いて対称性の高い変数で立式することが最大のポイントである。 (3)で問われている内容は、多変数関数の最大・最小を求める際によく用いられる「1文字固定法（予選決勝法）」の論理そのものである。まず特定の変数（ここでは $z$ ）を固定して他の変数で最大化（予選）を行い、その後で固定を外して全体の最大化（決勝）を行うという考え方を言語化する構成となっている。