数学1 不等式 問題 9 解説

方針・初手

絶対値記号を含む不等式の問題である。絶対値の中身の正負によって場合分けをして、絶対値を外すのが基本の方針となる。また、不等式の右辺が $2x+2 = 2(x+1)$ と因数分解できることに着目し、両辺に共通する $x+1$ の符号で場合分けを行うアプローチも有効である。

解法1

絶対値の中身である $(x-7)(x+1)$ の符号によって場合分けをする。

(i) $(x-7)(x+1) \geqq 0$ すなわち $x \leqq -1, \quad 7 \leqq x$ のとき 絶対値記号はそのまま外れるので、与えられた不等式は

$$ (x-7)(x+1) > 2x + 2 $$

となる。展開して整理すると、

$$ x^2 - 6x - 7 > 2x + 2 $$

$$ x^2 - 8x - 9 > 0 $$

$$ (x-9)(x+1) > 0 $$

これを解いて、

$$ x < -1, \quad 9 < x $$

このうち、場合分けの条件 $x \leqq -1, \quad 7 \leqq x$ を満たす範囲は、

$$ x < -1, \quad 9 < x $$

(ii) $(x-7)(x+1) < 0$ すなわち $-1 < x < 7$ のとき 絶対値記号は負の符号をつけて外れるので、与えられた不等式は

$$ -(x-7)(x+1) > 2x + 2 $$

となる。展開して整理すると、

$$ -(x^2 - 6x - 7) > 2x + 2 $$

$$ -x^2 + 6x + 7 > 2x + 2 $$

$$ x^2 - 4x - 5 < 0 $$

$$ (x-5)(x+1) < 0 $$

これを解いて、

$$ -1 < x < 5 $$

これは場合分けの条件 $-1 < x < 7$ を満たす。

(i), (ii) より、求める解はこれらの範囲を合わせて、

$$ x < -1, \quad -1 < x < 5, \quad 9 < x $$

解法2

不等式の右辺をくくり、絶対値の性質 $|ab| = |a||b|$ を利用して式を変形する。

$$ |(x-7)(x+1)| > 2(x+1) $$

$$ |x-7||x+1| > 2(x+1) $$

ここで、$x+1$ の符号によって場合分けを行う。

(i) $x+1 > 0$ すなわち $x > -1$ のとき $|x+1| = x+1$ であるから、不等式は

$$ |x-7|(x+1) > 2(x+1) $$

となる。$x+1 > 0$ より、両辺を $x+1$ で割って、

$$ |x-7| > 2 $$

これを解くと、

$$ x-7 < -2, \quad 2 < x-7 $$

$$ x < 5, \quad 9 < x $$

条件 $x > -1$ との共通範囲をとって、

$$ -1 < x < 5, \quad 9 < x $$

(ii) $x+1 = 0$ すなわち $x = -1$ のとき 不等式の左辺は $0$、右辺は $0$ となり、$0 > 0$ となるためこの不等式は不成立である。

(iii) $x+1 < 0$ すなわち $x < -1$ のとき $|x+1| = -(x+1)$ であるから、不等式は

$$ -|x-7|(x+1) > 2(x+1) $$

となる。$x+1 < 0$ より、両辺を負の数 $x+1$ で割ると不等号の向きが変わるため、

$$ -|x-7| < 2 $$

$$ |x-7| > -2 $$

絶対値は常に $0$ 以上であるため、この不等式はすべての実数 $x$ について成り立つ。したがって、条件 $x < -1$ のもとで常に成立する。すなわち、

$$ x < -1 $$

(i), (ii), (iii) より、求める解はこれらの範囲を合わせて、

$$ x < -1, \quad -1 < x < 5, \quad 9 < x $$

解説

絶対値を含む方程式・不等式の基本は「絶対値の中身の正負で場合分けをして絶対値を外す」ことである。解法1はこの大原則に忠実な解き方であり、確実性が高い。

一方、解法2は式の形をよく観察し、共通因数 $x+1$ に着目した解法である。絶対値の性質をうまく用いることで、2次不等式を解く手間を省き、1次不等式の処理に帰着させることができる。ただし、文字式で両辺を割る際の「符号による不等号の向きの反転」や「$0$ で割る場合の除外」には十分注意して論理を展開する必要がある。

答え

$$ x < -1, \quad -1 < x < 5, \quad 9 < x $$