数学1 不等式 問題 14 解説

方針・初手

2つの絶対値記号が含まれているため、それぞれの絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値を境界として場合分けを行う。 $x+3=0$ となる $x=-3$ と、$3x-1=0$ となる $x=\frac{1}{3}$ が場合分けの境界となる。

解法1

与えられた不等式は、

$$ |x + 3| + |3x - 1| > 6 $$

絶対値の中の式の符号が変わる $x = -3$ と $x = \frac{1}{3}$ を境にして、以下の3つの場合に分ける。

(i) $x < -3$ のとき

$x + 3 < 0$ かつ $3x - 1 < 0$ であるから、絶対値記号はマイナスをつけて外れる。

$$ -(x + 3) - (3x - 1) > 6 $$

$$ -4x - 2 > 6 $$

$$ -4x > 8 $$

$$ x < -2 $$

場合分けの条件 $x < -3$ との共通範囲を求めて、

$$ x < -3 $$

(ii) $-3 \leqq x < \frac{1}{3}$ のとき

$x + 3 \geqq 0$ かつ $3x - 1 < 0$ であるから、

$$ (x + 3) - (3x - 1) > 6 $$

$$ -2x + 4 > 6 $$

$$ -2x > 2 $$

$$ x < -1 $$

場合分けの条件 $-3 \leqq x < \frac{1}{3}$ との共通範囲を求めて、

$$ -3 \leqq x < -1 $$

(iii) $x \geqq \frac{1}{3}$ のとき

$x + 3 \geqq 0$ かつ $3x - 1 \geqq 0$ であるから、絶対値記号はそのまま外れる。

$$ (x + 3) + (3x - 1) > 6 $$

$$ 4x + 2 > 6 $$

$$ 4x > 4 $$

$$ x > 1 $$

場合分けの条件 $x \geqq \frac{1}{3}$ との共通範囲を求めて、

$$ x > 1 $$

以上 (i), (ii), (iii) より、求める解はこれらの範囲を合わせたものになるので、

$$ x < -1, \quad 1 < x $$

解法2

関数 $f(x) = |x + 3| + |3x - 1|$ とおき、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = 6$ の上下関係を考える。

解法1での場合分けより、$f(x)$ は絶対値記号を外すと次のように表される。

$$ f(x) = \begin{cases} -4x - 2 & (x < -3) \\ -2x + 4 & \left(-3 \leqq x < \frac{1}{3}\right) \\ 4x + 2 & \left(x \geqq \frac{1}{3}\right) \end{cases} $$

$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = 6$ の交点の $x$ 座標を求める。

$-3 \leqq x < \frac{1}{3}$ の範囲において、$-2x + 4 = 6$ を解くと $x = -1$

$x \geqq \frac{1}{3}$ の範囲において、$4x + 2 = 6$ を解くと $x = 1$

$y = f(x)$ のグラフは下に凸な折れ線であり、求める不等式 $f(x) > 6$ の解は、グラフが直線 $y = 6$ より上側にある $x$ の範囲である。

したがって、2つの交点の外側の範囲をとって、

$$ x < -1, \quad 1 < x $$

解説

複数の絶対値を含む方程式・不等式の基本問題である。 絶対値の中身が正か負かで場合分けをして、絶対値を外すのが定石の解法である。この際、場合分けの条件と、出てきた解との共通範囲をとることを忘れないように注意が必要である。 また、解法2のようにグラフをイメージして視覚的に解を捉える方法は、見通しが良くなり計算ミスを防ぐ上でも有効である。

答え

$$ x < -1, \quad 1 < x $$