数学1 方程式 問題 1 解説

方針・初手

絶対値記号を含む方程式は、絶対値の中身の符号によって場合分けを行い、絶対値記号をはずして解くのが基本である。本問では $|x|$ を含んでいるため、$x \ge 0$ の場合と $x < 0$ の場合で分けて方程式を解く。 最後に、得られた解が各々の場合分けの条件（$x$ の変域）を満たすかどうかを必ず確認する。

解法1

(i) $x \ge 0$ のとき

$|x| = x$ であるから、与えられた方程式は次のように表される。

$$ x^2 + 3x - 5 = 2x $$

整理すると、

$$ x^2 + x - 5 = 0 $$

解の公式を用いて解くと、

$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} $$

ここで、$4 < \sqrt{21} < 5$ であるから、

$$ \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} > \frac{-1 + 4}{2} = \frac{3}{2} > 0 $$

$$ \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} < \frac{-1 - 4}{2} = -\frac{5}{2} < 0 $$

$x \ge 0$ の条件を満たすのは $x = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$ のみである。

(ii) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$ であるから、与えられた方程式は次のように表される。

$$ x^2 + 3x - 5 = -2x $$

整理すると、

$$ x^2 + 5x - 5 = 0 $$

解の公式を用いて解くと、

$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2} $$

ここで、$6 < \sqrt{45} < 7$ であるから、

$$ \frac{-5 + \sqrt{45}}{2} > \frac{-5 + 6}{2} = \frac{1}{2} > 0 $$

$$ \frac{-5 - \sqrt{45}}{2} < \frac{-5 - 6}{2} = -\frac{11}{2} < 0 $$

$x < 0$ の条件を満たすのは $x = \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2}$ のみである。

(i)、(ii) より、求める解は

$$ x = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2} $$

解説

絶対値を含む方程式の基本的な処理を問う問題である。 方程式を解いて得られた値が、前提とした場合分けの条件を満たすかどうか（解の吟味）を忘れないことが最も重要である。 本問では解が無理数となるため、平方根の近似値（$\sqrt{21}$ や $\sqrt{45}$ がどの整数の間にあるか）を評価して、条件の不等式を満たすかどうかを正確に判定する力が求められている。

答え

$$ x = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2} $$