数学1 方程式 問題 3 解説

方針・初手

食塩水の混合問題では、食塩水全体の質量と、そこに含まれる食塩の質量の2つに着目して関係式を立てる。 問題文で求められている食塩水Bの濃度を変数として置き、条件ごとに立式して連立方程式を解く。

解法1

食塩水Bの濃度を $x$ % とする。

まず、Aを $a$ g、Bを $b$ g混ぜて濃度2%の食塩水100gができることから、食塩水全体の質量について以下の式が成り立つ。

$$a + b = 100 \quad \cdots \text{(1)}$$

また、この100gの食塩水に含まれる食塩の量に着目すると、以下の式が成り立つ。

$$\frac{a}{100} + \frac{bx}{100} = 100 \times \frac{2}{100}$$

両辺を100倍して整理する。

$$a + bx = 200 \quad \cdots \text{(2)}$$

次に、AとBの混ぜる量を逆にして、Aを $b$ g、Bを $a$ g混ぜた食塩水100gを考える。 この食塩水全体に含まれる食塩の量は、以下のように表される。

$$\frac{b}{100} + \frac{ax}{100} = \frac{ax + b}{100} \text{ (g)}$$

この食塩水100gの中から75gを捨てると、残る食塩水は25gとなる。 残った25gの食塩水に含まれる食塩の量は、元の $\frac{25}{100}$ となるので以下のようになる。

$$\frac{ax + b}{100} \times \frac{25}{100} = \frac{ax + b}{400} \text{ (g)}$$

ここに濃度1%の食塩水Aを75g加えると、追加される食塩の量は $75 \times \frac{1}{100} = \frac{3}{4}$ g である。 できた食塩水は全体で100gとなり、その濃度が2%になったことから、最終的な食塩の合計量は2gとなる。 したがって、次の方程式が成り立つ。

$$\frac{ax + b}{400} + \frac{3}{4} = 2$$

両辺を400倍して整理する。

$$(ax + b) + 300 = 800$$

$$ax + b = 500 \quad \cdots \text{(3)}$$

(1), (2), (3) の連立方程式を解く。 (2) から (1) を辺々引くと、以下の式が得られる。

$$b(x - 1) = 100 \quad \cdots \text{(4)}$$

(3) から (1) を辺々引くと、以下の式が得られる。

$$a(x - 1) = 400 \quad \cdots \text{(5)}$$

(4) より $x - 1 = \frac{100}{b}$ であるから、これを (5) に代入する。

$$a \times \frac{100}{b} = 400$$

$$a = 4b$$

これを (1) に代入する。

$$4b + b = 100$$

$$5b = 100$$

$$b = 20$$

このとき $a$ の値は以下のようになる。

$$a = 100 - 20 = 80$$

最後に、(4) に $b = 20$ を代入して $x$ を求める。

$$20(x - 1) = 100$$

$$x - 1 = 5$$

$$x = 6$$

以上より、$a = 80$、$b = 20$ であり、Bの濃度は 6% となる。これらは用意された食塩水1000gの範囲内に収まっており条件を満たす。

解説

食塩水の濃度に関する標準的な文章題である。 連立方程式の未知数が $a, b, x$ の3つ現れるが、定数項以外の文字式が対称な形をしているため、辺々の差をとることで $x-1$ という共通の因数を作り出し、容易に比を求めることができる。 途中で「食塩水を一部捨てる」操作が入るが、捨てた後の「残った食塩水」にどれだけの食塩が含まれているかを、質量比（今回は $\frac{25}{100}$）を用いて正しく計算することがポイントである。

答え

$a = 80, b = 20$

Bの食塩水の濃度は $6 \%$