数学1 方程式 問題 6 解説

方針・初手

絶対値記号を含む方程式であるため、絶対値の中身の正負によって場合分けを行い、絶対値記号を外すことが基本となる。

$|x|$ と $|x-1|$ が含まれているので、それぞれの中身が $0$ になる $x=0$ と $x=1$ を境界として、$x < 0$、$0 \leqq x < 1$、$x \geqq 1$ の $3$ つの範囲に分けて方程式を解く。

得られた解が、場合分けで設定した $x$ の範囲の条件を満たしているかどうかの確認を必ず行う。

解法1

絶対値の中身が $0$ となるのは $x=0, 1$ であるから、以下の $3$ つの場合に分けて方程式を解く。

(i) $x < 0$ のとき

$x < 0$ かつ $x-1 < 0$ であるから、絶対値記号は次のように外れる。

$$|x| = -x, \quad |x-1| = -(x-1)$$

これを与えられた方程式に代入すると、

$$-x - 2(x-1) = x + 3$$

$$-x - 2x + 2 = x + 3$$

$$-3x + 2 = x + 3$$

$$4x = -1$$

$$x = -\frac{1}{4}$$

これは $x < 0$ を満たす。

(ii) $0 \leqq x < 1$ のとき

$x \geqq 0$ かつ $x-1 < 0$ であるから、絶対値記号は次のように外れる。

$$|x| = x, \quad |x-1| = -(x-1)$$

これを与えられた方程式に代入すると、

$$x - 2(x-1) = x + 3$$

$$x - 2x + 2 = x + 3$$

$$-x + 2 = x + 3$$

$$2x = -1$$

$$x = -\frac{1}{2}$$

しかし、これは $0 \leqq x < 1$ の範囲を満たさないため、不適である。

(iii) $x \geqq 1$ のとき

$x > 0$ かつ $x-1 \geqq 0$ であるから、絶対値記号はそのまま外れる。

$$|x| = x, \quad |x-1| = x-1$$

これを与えられた方程式に代入すると、

$$x + 2(x-1) = x + 3$$

$$x + 2x - 2 = x + 3$$

$$3x - 2 = x + 3$$

$$2x = 5$$

$$x = \frac{5}{2}$$

これは $x \geqq 1$ を満たす。

以上、(i)〜(iii) より、求める解は

$$x = -\frac{1}{4}, \frac{5}{2}$$

解説

絶対値を含む方程式の基本的な問題である。複数の絶対値が含まれる場合は、それぞれの絶対値の中身が $0$ になる値を数直線上にプロットし、区間を分割して場合分けを行うのが定石である。

本問で最も注意すべき点は、方程式を解いて得られた $x$ の値が、前提とした場合分けの範囲に属しているかどうかの確認（吟味）である。特に (ii) のように、計算上は値が出てきても条件を満たさずに不適となるケースがあるため、この確認手順を怠ると誤答につながる。

また、関数 $y = |x| + 2|x-1|$ と直線 $y = x+3$ のグラフを描き、その交点の $x$ 座標を求めるという視点を持つと、解の個数やおおよその値の予想がつき、計算ミスを防ぐ有用な手段となる。

答え

$$x = -\frac{1}{4}, \frac{5}{2}$$