数学1 方程式 問題 11 解説

方針・初手

絶対値記号を含む方程式の基本方針に従い、絶対値の中身の正負によって場合分けを行う。求まった解が場合分けの条件を満たしているか、必ず最後に確認する。

解法1

$|x-1|$ の絶対値記号を外すために、$x-1 \geqq 0$ と $x-1 < 0$ で場合分けを行う。

(i) $x \geqq 1$ のとき

$|x-1| = x-1$ であるから、与えられた方程式は

$$ x^2 + x + (x - 1) = 5 $$

整理すると

$$ x^2 + 2x - 6 = 0 $$

これを解の公式を用いて解くと

$$ x = -1 \pm \sqrt{1^2 - 1 \cdot (-6)} = -1 \pm \sqrt{7} $$

ここで、$2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、

$$ \begin{aligned} -1 + \sqrt{7} &> -1 + 2 = 1 \\ -1 - \sqrt{7} &< -1 - 2 = -3 \end{aligned} $$

となる。条件 $x \geqq 1$ を満たすのは $x = -1 + \sqrt{7}$ のみである。

(ii) $x < 1$ のとき

$|x-1| = -(x - 1) = -x + 1$ であるから、与えられた方程式は

$$ x^2 + x + (-x + 1) = 5 $$

整理すると

$$ x^2 - 4 = 0 $$

これを解くと

$$ x = \pm 2 $$

条件 $x < 1$ を満たすのは $x = -2$ のみである。（$x = 2$ は不適）

(i), (ii) より、求める解は

$$ x = -1 + \sqrt{7}, -2 $$

解説

絶対値記号を外すために場合分けを行う、基本的な方程式の問題である。方程式を解いて得られた値が、前提とした場合分けの範囲に入っているかの確認を忘れないようにすることが最大のポイントである。範囲外の解を誤って答えに含めないよう注意したい。

答え

$$ x = -1 + \sqrt{7}, -2 $$