トップ› 基礎問題› 数学1› 方程式不等式› 方程式› 問題 13

数学1 方程式問題 13 解説

方針・初手

与えられた連立1次方程式の解の個数に関する問題である。加減法や代入法を用いて1つの文字（ここでは $y$）を消去し、残った文字（$x$）に関する1次方程式を導く。その際、$x$ の係数が $0$ になるかどうかで場合分けを行う。

解法1

与えられた連立方程式は以下の通りである。

$$ \begin{cases} ax + 2y = 4 & \cdots ① \\ 2x + 4y = 8 & \cdots ② \end{cases} $$

②の両辺を $2$ で割ると、次の式が得られる。

$$ x + 2y = 4 $$

これを $2y$ について解くと、

$$ 2y = 4 - x \quad \cdots ③ $$

③を①に代入すると、

$$ ax + (4 - x) = 4 $$

左辺を展開して整理すると、

$$ (a - 1)x = 0 \quad \cdots ④ $$

ここで、$x$ の係数 $a - 1$ の値によって場合分けを行う。

(i) $a - 1 = 0$ すなわち $a = 1$ のとき

④は $0 \cdot x = 0$ となり、任意の実数 $x$ に対して成り立つ。このとき、③より $y = 2 - \frac{1}{2}x$ となり、条件を満たす $(x, y)$ の組は無数に存在する。よって、解が無数にあるときの $a$ の値は $a = 1$ である。

(ii) $a - 1 \neq 0$ すなわち $a \neq 1$ のとき

④の両辺を $a - 1$ で割ることができ、

$$ x = 0 $$

これを③に代入して $y$ を求めると、

$$ 2y = 4 - 0 $$

$$ y = 2 $$

したがって、$x = 0$、$y = 2$ とただ1つの解が定まる。

解法2

連立方程式を2つの直線の方程式とみなし、平面上の図形的な関係から解くこともできる。

直線 $l_1 : ax + 2y = 4$ 直線 $l_2 : 2x + 4y = 8$

連立方程式の解が無数にあるということは、2つの直線 $l_1$、$l_2$ が完全に一致するということである。 $l_2$ は両辺を $2$ で割ると $x + 2y = 4$ となる。 $l_1$ と $l_2$ が一致するための条件は、各項の係数と定数項の比が等しくなることであるから、

$$ \frac{a}{1} = \frac{2}{2} = \frac{4}{4} $$

これを満たす $a$ の値は $a = 1$ である。

また、$a \neq 1$ のとき、2直線は平行ではなく交点を1つ持つため、連立方程式には唯一の解が存在する。 $l_2$ を変形した $x = 4 - 2y$ を $l_1$ に代入すると、

$$ a(4 - 2y) + 2y = 4 $$

$$ (2 - 2a)y = 4(1 - a) $$

$$ 2(1 - a)y = 4(1 - a) $$

$a \neq 1$ であるから $1 - a \neq 0$ であり、両辺を $2(1 - a)$ で割ると $y = 2$ となる。これを $x = 4 - 2y$ に代入して $x = 0$ を得る。

解説

連立1次方程式の解の存在条件を問う標準的な問題である。文字係数を含む方程式を解く際に、最高次の係数が $0$ になる場合とそうでない場合で場合分けを行うという、数学において極めて重要な原則の確認となる。

また、解法2で示したように、連立方程式 $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$ について、$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ が成り立つとき、2直線は一致し、解が無数に存在するという図形的な意味を理解しておくと、直感的に答えを導くことができる。