数学1 二次方程式 問題 15 解説

方針・初手

2次方程式が実数解をもつための条件は、判別式 $D$ について $D \ge 0$ が成り立つことである。与えられた方程式の係数から判別式を計算し、$a$ についての2次不等式を解く。

解法1

与えられた2次方程式 $x^2 + (3a-2)x + 2a^2 - 2a + 1 = 0$ の判別式を $D$ とする。

2次方程式が実数解をもつための条件は、$D \ge 0$ である。

判別式 $D$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} D &= (3a-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - 2a + 1) \\ &= (9a^2 - 12a + 4) - (8a^2 - 8a + 4) \\ &= a^2 - 4a \end{aligned} $$

となる。

$D \ge 0$ であるから、

$$ a^2 - 4a \ge 0 $$

$$ a(a-4) \ge 0 $$

この2次不等式を解いて、

$$ a \le 0, \ 4 \le a $$

解説

2次方程式の解の判別に関する基本的な問題である。

「実数解をもつ」という条件は、「異なる2つの実数解をもつ」($D > 0$) 場合と「ただ1つの実数解（重解）をもつ」($D = 0$) 場合の両方を含むため、$D \ge 0$ となることに注意する。等号を含め忘れるミスが起こりやすいので気をつけること。

文字式を含む展開計算を正確に行い、基本的な2次不等式を解くことができれば完答できる。

答え

$$ a \le 0, \ 4 \le a $$